利用者:Hop-step-junge/sandbox/1

以下は円に関する定理の一覧である。50音順で示した。

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名称	画像	主張
オイラーの定理（三角形）
オイラーの定理（四角形）		（必ずしも円に内接しない）四角形 $ABCD$ において、 $AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC$ （トレミーの不等式）が成り立つ。
シムソンの定理		$\bigtriangleup$ $ABC$ の外接円上の点 $P$ から三角形の各辺 $BC,CA,AB$ におろした垂線の足 $L,M,N$ がすべて同一直線上にある。
接線＝割線定理（英語版）		左図において、 $\|PT\|^{2}=\|PG_{1}\|\cdot \|PG_{2}\|$ が成り立つ。
高田の定理		円内接五角形の辺と対角線に囲まれて、五芒星に含まれない5つの三角形の外接円を描いたとき、隣同士の外接円が交わる点のうち五角形の頂点でないほうの点はすべて同一円（左図の赤円）に含まれている。
タレスの定理		円周上の2つの点を結ぶ線分が円の中心を含むなら、その2点と円周上の別の点とを結ぶ2つの線分のなす円周角は必ず直角である。
デカルトの円定理		互いに接する4つの円の半径はある二次方程式を満たす。つまり、黒い3つの円から、3円に接する円として左図の2つの赤円が考えられる。
テボーの問題 III		ヴィクトル・テボー（英語版、フランス語版）が提唱した諸問題の1つ。ある三角形 $ABC$ と、 $BC$ 上の点 $M$ について、 $BC,AM$ と三角形 $ABC$ の外接円に接する（内接する）円を $AM$ の両側にそれぞれ作ると、2つの円の中心 $P,Q$ 、及び三角形 $ABC$ の内心 $I$ は同一直線上にある。
テルケムの定理		三角形 $ABC$ と点 $D$ に対するチェバ線が $BC,CA,AB$ と、それぞれ $P_{a},P_{b},P_{c}$ で交わっているとし、 $\triangle P_{a}P_{b}P_{c}$ の外接円と $BC,CA,AB$ の $P_{a},P_{b},P_{c}$ でない方の交点をそれぞれ $P'_{a},P'_{b},P'_{c}$ とすると、チェバ線 $AP'_{a}$ , $BP'_{b}$ , $CP'_{c}$ は共点である。
トリリウムの定理		三角形 $ABC$ における内心を $I$ 、点Aに対する傍心を $J$ とする。半直線 $AI$ （これは $J$ を通過する）と $\bigtriangleup$ $ABC$ の外接円との交点を $P$ とする。このとき、点 $I,J,B,C$ は点 $P$ を中心とする同一円周上にある。
トレミーの定理		左図の四角形とその外接円について、 $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC$ が成り立つ。
七円定理		6つの円 $O 1, O 2, O 3, O 4, O 5, O 6$ がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円 $O 7$ と（内部または外部で）接しているとき、 $O 7$ との接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）と $O 7$ の接点を結んだ直線延べ3本は共点である（＝一転で交わる）。左の画像は $O 7$ が6円の外部の場合の図。
南極定理		三辺の長さが相異なる三角形において、ある一辺の垂直二等分線と、その辺に対向する角の二等分線は、外接円上で交わる。この交点 $S$ を南極という。（なお、対応する外角の二等分線もまた、垂直二等分線と外接円上で交わり、こちら（交点 $N$ ）は北極という。）
日本の定理		円に内接する任意の多角形において､1頂点を通る弦で分けられるすべての三角形の内接円の半径の和は､どの頂点に関しても等しく一定である
ニュートンの定理		内接円を持つ菱形以外の四角形の内接円の中心はニュートン線を通る。
ボンネゼンの不等式		平面上の単純な閉曲線の周長を $L$ 、面積を $A$ 、内接円と外接円の半径をそれぞれ $r,R$ とすると、 $\pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A$ が成り立つ。

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