フールマン円

ユークリッド幾何学において、フールマン円（ふーるまんえん、英語: Fuhrmann circle）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$ と垂心 $H$ を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある^[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている^[2]。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_{F}$ は

${\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である^[3]。

一般化

$△ ABC$ について、その辺上にない点 $P$ の擬調和三角形を $△ A'B'C'$ とする。また、 $A',B',C'$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $P a,P b,P c$ とする。 $△P a P b P c$ （ $P$ フールマン三角形）の外接円を $P$ のヘギー円（ $P$ -Hagge circle）または $P$ のフールマン円（ $P$ -Fuhrmann circle）と言う^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]。名称はカール・ヘギーに由来する^[10]。 $P$ が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす^[11]。

ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem^[12]）。
$P$ の等角共役点 $P*$ と $P$ のヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
ヘギー円の半径は $P*$ と外心の距離に等しい。
垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、 $P*$ は共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している^[12]。

2020年、Vu Thanh Tungはさらなる一般化を示した^[13]。

点 $P,U$ に対して、 $AU,BC$ の交点を $A 0$ 、円 $PBC$ と直線 $AP$ の $P$ でない方の交点を $A 1$ 、直線 $A 0 A 1$ と円 $PBC$ の $A 1$ でない方の交点を $A 2$ とする。同様に $B 2, C 2$ も定義したとき、 $P, A 2, B 2, C 2$ は共円である。この円をVu Circleという。 $P$ を垂心とすれば、ヘギー円となる。

注釈

^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
^ “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。
^ “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。
^ “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。
^ Christopher J. Bradley ,Geoff C. Smith. “On a Construction of Hagge”. Forum Geometricorum. 2024年4月1日閲覧。
^ “The Four Hagge Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ “Omega Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ Bradley, C. J.; Smith, G. C.; Bradley, Christopher; Smith, Geoff (2007). “Hagge Circles and Isogonal Conjugation”. The Mathematical Gazette 91 (521): 202–207. ISSN 0025-5572. https://www.jstor.org/stable/40378342.
^ Peiser, A. M. (1942-10). “The Hagge Circle of a Triangle” (英語). The American Mathematical Monthly 49 (8): 524–527. doi:10.1080/00029890.1942.11991276. ISSN 0002-9890.
^ Zoltan Szilasi. “Hagge configurations and a projective generalization of inversion”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ Christopher J Bradley. “The Story of Hagge and Speckman”. バース大学. 2024年4月1日閲覧。
^ ^a ^b “Generalizations of Hagge’s Theorems”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。
^ Clark Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers X(37806) preamble”. 2024年10月30日閲覧。

参考文献

J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

外部リンク

Doug Westmoreland. “Fuhrmann circle”. the University of Georgia. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W. "Fuhrmann Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

[2] “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。

[3] “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。

[4] “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。

[5] Christopher J. Bradley ,Geoff C. Smith. “On a Construction of Hagge”. Forum Geometricorum. 2024年4月1日閲覧。

[6] “The Four Hagge Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。

[7] “Omega Circles”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。

[8] Bradley, C. J.; Smith, G. C.; Bradley, Christopher; Smith, Geoff (2007). “Hagge Circles and Isogonal Conjugation”. The Mathematical Gazette 91 (521): 202–207. ISSN 0025-5572. https://www.jstor.org/stable/40378342.

[9] Peiser, A. M. (1942-10). “The Hagge Circle of a Triangle” (英語). The American Mathematical Monthly 49 (8): 524–527. doi:10.1080/00029890.1942.11991276. ISSN 0002-9890.

[10] Zoltan Szilasi. “Hagge configurations and a projective generalization of inversion”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。

[11] Christopher J Bradley. “The Story of Hagge and Speckman”. バース大学. 2024年4月1日閲覧。

[:0-12] “Generalizations of Hagge’s Theorems”. arXiv. 2024年6月26日閲覧。

[13] Clark Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers X(37806) preamble”. 2024年10月30日閲覧。

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