ヴァイルの定理 (幾何学)

幾何学において、ヴァイルの定理（ヴァイルのていり、英:Weill's theorem）とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である^[1]^[2]^[3]。ジョゼフ・リウヴィルの雑誌『Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』で1878年、M・ヴァイル（M. Weill）が証明した^[4]^{[註 1]}。書籍によっては、ワイルの定理、ウェイルの定理とも書かれている^[5]^[6]^[7]。

定理

nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する^[8]。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点（Weill point）と呼ばれる。

1888年、ジョン・ケイシーはn個の接点のうちm個（mは、n≧m>0を満たす整数）の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した^[2]。ヴァイル点はn=mの場合である。

三角形のヴァイル点

三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される（三角形の重心は幾何中心と一致する）^[9]。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点 $W$ は $OI$ 線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を

$WI:IO=r:3R=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c):6abc$

に内分する。ここで $r,R$ はそれぞれ内接円、外接円の半径である。ヴァイル点の三線座標は以下の式で与えられる^[10]。

$(b-c)^{2}-a(b+c):(c-a)^{2}-b(a+c):(a-b)^{2}-c(a+b)$

三角形のヴァイル点はアダムス円と3辺の6つ交点の幾何中心、コンウェイ円と3辺の6つの交点の幾何中心などと一致する^[10]。

脚注

出典

^ M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan
^ ^a ^b Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.
^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson
^ Liouville, Joseph; Centre national de la recherche scientifique (France) (1836). Journal de mathématiques pures et appliquées. Mathematical Sciences - University of Toronto. Paris Gauthier-Villars [etc.]
^ ジョン・ケージー著、山下安太郎, 高橋三蔵訳『幾何学続編』有朋堂、1909年、215,24頁。doi:10.11501/828521。
^ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助訳『初等幾何学第1巻平面之部,Traité de géométrie. 7. éd』山海堂書店、1913年、507頁。doi:10.11501/930885。
^ 『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、76頁。doi:10.11501/1211458。
^ "Poncelect's Porism", in MathWorld,
^ "Weill point", in MathWorld.
^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. Encyclopedia of Triangle Centers. 2024年5月14日閲覧。

注釈

^ 雑誌が仏語で投稿されていることから、本来の読みは仏語読みのヴェイユでないかと思われる。実際、同様人物であろうマッケイ-ヴェイユの定理のM.Weillは、ヴェイユと訳されている。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Weill's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Weill point". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan

[:1-2] Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.

[3] Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson

[4] Liouville, Joseph; Centre national de la recherche scientifique (France) (1836). Journal de mathématiques pures et appliquées. Mathematical Sciences - University of Toronto. Paris Gauthier-Villars [etc.]

[6] ジョン・ケージー著、山下安太郎, 高橋三蔵訳『幾何学続編』有朋堂、1909年、215,24頁。doi:10.11501/828521。

[7] Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助訳『初等幾何学第1巻平面之部,Traité de géométrie. 7. éd』山海堂書店、1913年、507頁。doi:10.11501/930885。

[8] 『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、76頁。doi:10.11501/1211458。

[9] "Poncelect's Porism", in MathWorld,

[10] "Weill point", in MathWorld.

[:2-11] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. Encyclopedia of Triangle Centers. 2024年5月14日閲覧。

[5] 雑誌が仏語で投稿されていることから、本来の読みは仏語読みのヴェイユでないかと思われる。実際、同様人物であろうマッケイ-ヴェイユの定理のM.Weillは、ヴェイユと訳されている。

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定理

三角形のヴァイル点

脚注

出典

注釈

関連項目

外部リンク