コンウェイ円
ユークリッド幾何学において、コンウェイ円(コンウェイえん、英:Conway circle)とは三角形の辺を拡張した直線上の、頂点からその対辺と同じ長さの距離にある点を通る円である。 そのような6点が共円であるという定理をコンウェイ円の定理(Conway circle theorem)と言う[1][2][3] 。名称はジョン・ホートン・コンウェイに由来する。
証明
[編集]I を三角形ABCの内心、rを内接円の半径、sを半周長、Fa, Fb , Fcを内接円と辺a, b ,cの接点とする。
IFa, IFb , IFcはそれぞれa, b ,cの垂線であるからピトーの定理より|AFc|=|AFb|=s-a, |BFc|=|BFa|=s-b, |CFa|=|CFb|=s-cである。6つの三角形 IFcPa, IFcQb, IFaPb, IFaQc, IFbQa ,IFbPc aはすべて、|AFc|+|BFc|+|CFa|=sとrと等しい長さの辺を持ち、また直角三角形である。したがって二辺夾角相等より6つの三角形はすべて合同で、|IPa|=|IQa|=|IPb|=|IQb|=|IPc|=|IQc| が成り立ち、6点Pa, Qa, Pb, Qb, Pc ,Qc はIとの距離が等しく、Iを中心として共円である。
性質
[編集]コンウェイ円の半径は
である[3]。ただし は内接円の半径、 は半周長である。
一般化
[編集]コンウェイ円の定理は次のように一般化できる。
△ABCと直線AB上の点Pについて、符号付き距離で、BP=BQ, CQ=CR, AR=AS,BS=BT,CT=CUをみたす点を、それぞれQ,TはBC上に、R,UはCA上に、SはAB上に作ったとき、AU = APで PQRSTU は共円である[4]。
PをAB上のBP=bを満たすような外側の点とすることで、コンウェイ円の定理を得る。
関連
[編集]出典
[編集]- ^ “John Horton Conway”. www.cardcolm.org. 20 May 2020時点のオリジナルよりアーカイブ。29 May 2020閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W. "Conway Circle". mathworld.wolfram.com (英語). 2020年5月29日閲覧。
- ^ a b Francisco Javier García Capitán (2013). “A Generalization of the Conway Circle”. Forum Geometricorum 13: 191–195 .
- ^ Michael de Villiers (2023). “Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem”. Learning and Teaching Mathematics (34): 37–42 .
外部リンク
[編集]- Kimberling, Clark.. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2024年3月26日閲覧。
- Conway’s Circle Theorem as special case of Side Divider Theorem at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.