七円定理

幾何学における、七円定理（なな（しち）えんていり、英語: seven circles theorem）はユークリッド平面上の7つの円に関する定理である。 6つの円 $O 1, O 2, O 3, O 4, O 5, O 6$ がそれぞれ隣り合う2つの円とそれぞれ接し、また6つの円すべてが1つの円 $O 7$ と（内部または外部で）接しているとする。 $O 7$ との接点と6つの円について反対の円（隣り合う円とも隣り合わない円）と $O 7$ の接点を結んだ直線延べ3本は共点である。1974年、EvelynとMoney-CouttsとTyrrellによって、初等幾何学的な証明が発見された。

証明

スタンレー・ラビノヴィッツ（Stanley Rabinowitz）の6円が内部にある場合の証明を紹介する。

補題

以下の補題を使用する。

・弦のチェバの定理:ある円の弦 $A 1 A 4, A 2 A 5, A 3 A 6$ が一点 $P$ で交わることと、 $A 1 A 2 ・ A 3 A 4 ・ A 5 A 6 = A 2 A 3 ・ A 4 A 5 ・ A 6 A 1$ が成り立つことは同値。

円周角の定理と三角形の相似から

${\frac {A_{1}A_{2}}{A_{4}A_{5}}}={\frac {A_{1}P}{A_{5}P}},{\frac {A_{3}A_{4}}{A_{6}A_{1}}}={\frac {A_{3}P}{A_{1}P}},{\frac {A_{5}A_{6}}{A_{2}A_{3}}}={\frac {A_{5}P}{A_{3}P}}$

が成り立つので、辺々掛けて示される。

・中心を $C 1, C 2$ 、半径を $r 1, r 2$ とする円 $O 1, O 2$ が $M$ で外接し、また中心 $C$ 、半径 $R$ の円 $O$ とそれぞれ $A 1 A 2$ で接するとき

${\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}$

が成立する。

$A 1 M, A 2 M$ と円 $O$ の二つ目の交点を $D,E$ とする。 $△ C 1 A 1 M,△ CA 1 D$ は一つの角を共有し、また二等辺三角形なので、相似で $C 1 M // CD$ が従う。同様に、 $C 2 M // CE$ が従い、 $C 1, C 2 M$ の共線より $D,C,E$ は共線である。ところで円周角の定理と三角形の相似から、

${\frac {A_{1}A_{2}}{DE}}={\frac {A_{1}M}{ME}}={\frac {A_{2}M}{MD}}$

である。 $D,C,E$ の共線より $DE$ は $O$ の直径であり、

${\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{4R^{2}}}={\frac {{A_{1}A_{2}}^{2}}{{DE}^{2}}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{ME\cdot MD}}={\frac {A_{1}M\cdot A_{2}M}{MD\cdot ME}}={\frac {r_{1}r_{2}}{(R-r_{1})(R-r_{2})}}$

と変形して、示される。

本題

6円 $O i, i ={1,2,...,6}$ と $O 7$ の接点をそれぞれ $A i$ とする。二つ目の補題より

$A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}=8R^{3}{\sqrt {\prod _{i=1}^{6}{\frac {r_{i}}{R-{r_{i}}}}}}=A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{6}A_{1}$

なので、一つ目の補題より、 $A 1 A 4, A 2 A 5, A 3 A 6$ は一点で交わる。

6つの円が外部にある場合は分母が $R + r i$ となるだけで、同様に証明できる。

参考文献

Cundy, H. Martyn (1978). “The seven-circles theorem”. The Mathematical Gazette 62 (421): 200–203. doi:10.2307/3616692. JSTOR 3616692.
Evelyn, C. J. A.、Money-Coutts, G. B.、Tyrrell, J. A.『The Seven Circles Theorem and Other New Theorems』Stacey International、London、1974年。ISBN 978-0-9503304-0-2。
Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 227–228. ISBN 0-14-011813-6
“A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem”. arxiv. 2024年6月30日閲覧。
Adam Brown (2003). “A Connection between Brianchon's Theorem and the Seven Circles Theorem”. The Mathematical Gazette (Vol 87): 569-572. https://www.jstor.org/stable/3621313.
the Seven Circles Theorem by Stanley Rabinowitz, with a proof based on Ceva's theorems.

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Seven Circles Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Interactive Applet by Michael Borcherds showing The Seven Circles Theorem made using GeoGebra.
Seven Circles Theorem at Cut-the-knot.

証明

補題

本題

関連項目

参考文献

外部リンク