弦 (数学)

初等幾何学における円の弦（げん、英: chord^{[注釈 1]}）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。

円の弦

→「en:Circle § Chord」も参照

円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:

二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
弦 $AB$ および $CD$ を延長して得られる割線が点 $P$ で交わるならば、それらの長さは $AP\cdotPB = CP\cdotPD$ を満足する（方冪の定理）。

楕円の弦

楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある^[1]。

弦をもとにした三角法

三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表（英語版）で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）^[2]。

弦函数 $crd$ は幾何学的には（図のように）中心角 $θ$ の見込む弦の長さが $r \cdotcrd(θ)$ （ $r$ は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 $crd(θ)$ は、中心角 $θ$ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 $θ$ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 $0 < θ \leq π$ の範囲に入るものと考えている。この元函数 $crd$ をより現代的な正弦函数 $sin$ と関連付けることができる。それには、一点 $(1, 0)$ ともう一つの点 $(cos(θ), sin(θ))$ を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると $\operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \!{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}$ を得る^[2]。最後の等号は半角公式による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

恒等式	正弦版	弦版
三平方の定理	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4$
半角公式	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}$
辺心距離 $a$	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
中心角 $θ$	$c=2r\sin \!{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \theta$
ただし、半径 $r$ （直径 $D$ ）の円の中心角 $θ$ が見込む弦の長さを $c$ とする。

弦函数 $crd$ の逆函数 $acrd$ もまた存在して、逆正弦函数とは $\operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \!{\Big (}{\frac {y}{2}}{\Bigr )}$ の関係にある^[3]。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 弓弦を意味するラテン語: chorda に由来

出典

^ Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R.. A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147
^ ^a ^b Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4
^ Simpson, David G. (2001年11月8日). “AUXTRIG”. Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. 2015年10月26日閲覧。

外部リンク

History of Trigonometry Outline
Trigonometric functions, focusing on history
Chord (of a circle) With interactive animation
Weisstein, Eric W. "Chord". mathworld.wolfram.com (英語).
chord - PlanetMath.（英語）
Definition:Chord at ProofWiki
BSE-3 (2001), “Chord”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 弓弦を意味するラテン語: chorda に由来

[Chakerian_1979-2] Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R.. A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147

[Maor-3] Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4

[Simpson_2001-4] Simpson, David G. (2001年11月8日). “AUXTRIG”. Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. 2015年10月26日閲覧。

[注釈 1]

[1]

[2]

[3]

弦 (数学)

円の弦

楕円の弦

弦をもとにした三角法

脚注

注釈

出典

関連文献

関連項目

外部リンク