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ミケルの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ABCとそのそれぞれの辺上の点A' ,B' ,C' に対するミケルの定理(ミケル点M)。

ミケルの定理(みけるのていり、英語: Miquel's theorem)はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケルフランス語版の名を冠する幾何学定理である[1]三角形の3またはその延長英語版に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通るは、一点で交わる。ミケルの定理はミケルの発見した円の定理の一つで、彼の発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。

厳密にいうと、あるABCについて、直線BC,CA,AB上にそれぞれ点A' ,B' ,C' をとり、A'B'C,△B'C'A,△C'A'B外接円を描く(ミケル円、Miquel's circles)。3つのミケル円は一点で交わる(ミケル点、Miquel point)[2]。さらに3つの角MA'C,∠MB'A, ∠MC'Bは等しくまた、MA'B,∠MB'C,∠MC'A も等しい[3][4]

この定理は、 内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円A'B'C,AB'C' の交点について と角度追跡することによりBA'MC'共円が示されてミケルの定理を得る。

Pivot theorem

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幾つかの三角形のPivot Theorem

ミケルの定理を共線でない3点A' ,B' ,C' の成す三角形に着目した場合はForder (1960, p. 17)によってPivot theoremと名づけられている[5]

ミケル点の三線座標

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A' ,B' ,C' BC,CA,ABに対するfractional distances(線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離)をそれぞれda,db,dc線分BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとしてそのミケル点の三線座標(x,y,z)は以下の式で表される。

ただしd' a= 1 - da,d' b= 1 - db,d' c= 1 - dc である。

da=db=dc=1/2である場合、ミケル点は外心(cos α : cos β : cos γ)になる。

ミケルの定理の逆

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ミケルの定理のは次のような定理である。点Mを通る3円について、1つの円上に点A をとり、2つ目の円とのMでないほうの交点の一つをC'として、直線AC'と2つ目の円のC'でない方の交点をBとする。同様に、3つ目の円に対してBからA',Cをつくる。このとき点A,C,B'共線であり、ABCの辺上にA' ,B' ,C' が存在する。

ミケルの四辺形定理
ミケルの五点円定理
ミケルの六円定理:4円の隣り合う円との交点の一方が共円なら、もう一方の交点も共円であるという定理。

相似な内接三角形

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XYZが三角形ABC内接相似であるとき、任意のXYZにおいて、そのミケル点は不動である[6]:p. 257

ミケルの四辺形定理

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完全四辺形英語版の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる[7]。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理(Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem)という。

この定理は、1827,1828年に ヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌ の出版物(Annales de Gergonne)で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた[7][8]

ミケルの五点円定理

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凸な五角形ABCDEについて、その辺を延長し星形五角形FGHIKをつくる。5つの円CFD,DGE,EHA,AIB,BKCの、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である[9]。これをミケルの五点円定理(Miquel's pentagon theorem)という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

ミケルの六円定理

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円上に四点A,B,C,Dをとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理(Miquel's six circle theorem)または六円定理(six circles theorem)、四円定理(four circles theorem)という[10]。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである[11]David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる[12]

三次元におけるミケルの定理

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三次元のミケルの定理:4つの球の交円(黒)は一点で交わる。

ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円をに置き換える。4つの球は一点で交わる[4]

関連項目

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出典

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  1. ^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94
  2. ^ ミケルの定理とミケル円”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月1日閲覧。
  3. ^ Miquel, Auguste (1838), “Mémoire de Géométrie”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1: 485–487, オリジナルの2013-02-13時点におけるアーカイブ。, https://archive.today/20130213095630/http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3 
  4. ^ a b Wells 1991, p. 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem
  5. ^ Coxeter & Greitzer 1967, p. 62
  6. ^ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, (2016). “Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles”. Forum Geometricorum (vol 16): 257-267. https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf. 
  7. ^ a b Ostermann & Wanner 2012, p. 96
  8. ^ Steiner, J. (1827/1828), “Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet”, Annales de Mathématiques 18: 302–304 
  9. ^ Ostermann & Wanner 2012, pp. 96–97
  10. ^ Pedoe 1988, p. 424
  11. ^ Ostermann & Wanner 2012, p. 352
  12. ^ Wells 1991, pp. 151–2

参考文献

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  • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402 
  • Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson 
  • Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 
  • Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
  • Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 
  • Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005, https://archive.org/details/penguindictionar0000well 

外部リンク

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