カルノーの定理 (幾何学)

${\begin{aligned}&{}\qquad DG+DH+DF\\&{}=|DG|+|DH|-|DF|\\&{}=R+r\end{aligned}}$

カルノーの定理は、フランスの数学者ラザール・カルノーに由来する、初等平面幾何学における定理である。

定理

任意の三角形 ABC において、外接円の中心 D と3辺との符号付き距離の和は、外接円の半径 R と内接円の半径 r の和に等しい。すなわち、右図において、

$DF+DG+DH=R+r\,$

が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への垂線 DX (X = F, G, H) が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。

応用

カルノーの定理は、三上義夫、林鶴一によって紹介されたとされる、日本の定理の証明に使用される。

幾何学におけるもう一つの「カルノーの定理」

幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、シムソンの定理の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。

参考文献

• 上垣渉 (2001): Japanese Theoremの起源と歴史, 三重大学教育学部研究紀要. 自然科学, 52, 23-45[1]
• 矢野健太郎 (1981): 『幾何の有名な定理』, 数学ワンポイント双書, 共立出版, ISBN 9784320010765

関連項目

• カルノーの定理 (熱力学): ラザール・カルノーの子息であるニコラ・レオナール・サディ・カルノーの名に因む、熱機関の最大効率に関する定理

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Carnot's theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Carnot's Theorem at cut-the-knot
• Yet another Carnot's Theorem with multiple applications at cut-the-knot
• Carnot's Theorem by Chris Boucher. The Wolfram Demonstrations Project