トリリウムの定理
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このページ名「トリリウムの定理」は暫定的なものです。(2022年5月) |
トリリウムの定理 (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem)とは幾何学の定理である。
定理
[編集]△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI(これはJを通過する)と△ABCの外接円との交点をPとする。
このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。
証明
[編集]半直線ABと傍接円との接点をHとする。
まず ∠BAP=∠CAP より PB=PC である。
次に
- ∠IBP=∠IBC+∠CBP=∠IBC+∠CAP=∠IBA+∠IAB=∠BIP
つまり ∠IBP=∠BIP
よって△PBIは二等辺三角形であり PB=PI である。
以上から PB=PI=PC である。
また
- ∠JBI=∠IBC+∠JBC=1/2∠ABC+1/2∠CBH=1/2(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=90°
つまり ∠JBI=90°
いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB=PI が分かっている。このとき
- ∠PJB=90°-∠BIP=90°-∠IBP=∠PBJ
より△PBJは二等辺三角形であり PB=PJ である。
以上から PB=PI=PC=PJ である。
これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。
参考文献
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外部リンク
[編集]- Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle". mathworld.wolfram.com (英語).(内心-傍心円)