トリリウムの定理
トリリウムの定理[1] (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem）あるいは内心傍心補題（Incenter/excenter lemma）とは幾何学の定理の一つである。
定理
[編集]△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。
このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。
証明
[編集]半直線ABと傍接円との接点をHとする。
まず ∠BAP = ∠CAP より PB = PC である。
次に
- ∠IBP = ∠IBC + ∠CBP = ∠IBC + ∠CAP = ∠IBA + ∠IAB = ∠BIP
つまり ∠IBP = ∠BIP。
よって△PBIは二等辺三角形であり PB = PI である。
以上から PB = PI = PC である。
また
- ∠JBI = ∠IBC + ∠JBC = 1/2∠ABC + 1/2∠CBH = 1/2 (∠ABC + ∠BCA + ∠CAB) = 90°
つまり ∠JBI = 90°
いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB = PI が分かっている。このとき
- ∠PJB = 90° - ∠BIP = 90° - ∠IBP = ∠PBJ
より△PBJは二等辺三角形であり PB = PJ である。
以上から PB = PI = PC = PJ である。
これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。
一般化
[編集]I,Jを内心、傍心の延べ4点のうちの任意の2点とする。直線IJは三角形の頂点のいずれかを通るかつ、IJを直径とする円は他の2頂点を通る[2]。
出典
[編集]- ^ Evan Chen『数学オリンピック幾何への挑戦 ユークリッド幾何学を巡る船旅』日本評論社、2023年、18頁。ISBN 9784535789784。
- ^ Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jingzhong (1994). Machine Proofs in Geometry. World Scientific. Examples 6.145 and 6.146, Template:Pgs. ISBN 9789810215842.
外部リンク
[編集]- Weisstein, Eric W. "Incenter-Excenter Circle". mathworld.wolfram.com (英語).（内心-傍心円）