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2024年12月9日 (月) 02:30時点における最新版

本記事では、数学定数のひとつである円周率の歴史（えんしゅうりつのれきし）について詳述する。

円周率 $π$ は無理数であるため、小数部分は循環せず無限に続く。さらに、円周率 $π$ は超越数でもあるため、その連分数表示は循環しない。その近似値は何千年にも亘り世界中で計算されてきた。

凡例

[学]：数学的事実に関する発見・論争等
[法]：計算法の考案・改良等
[値]：計算・値の使用
[値]（桁数）：計算・値の使用（小数点以下の桁数の記録）
[文]：文化・社会

年表

級数の発見前　— 13世紀まで —

紀元前2000年頃: [値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として $3$ や $3+.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/7 = 22/7$ , $3+ 1 / 8$ などが使われたと考えられている^[1]。
紀元前1650年頃: [学][値] 既に、古代エジプトでは、円周と直径の比の値と、円の面積と半径の平方の比の値が等しいことは知られていた。神官アハメスが書き残したリンド・パピルスには、円積問題の古典的な解法の一つが記されており、円の直径からその $1 / 9$ を引いた長さを一辺とする正方形の面積と、元の円の面積が等しいとしている^[2]。これは、円周率を近似的に $256 / 81$ とみなすことに相当し^[2]、それなりに精度の高い近似値であったが普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年頃にまで遡ると考えられている^[3]。
紀元前5世紀頃: [学] アナクサゴラスが、アポロンへの不敬罪で投獄されている間に、円積問題に取り組んだ^[4]。; [法] ヘラクレアのアンティフォンは、円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した^[5]。; [値] すぐに、同じヘラクレアのブリソン（英語版）が、外接する正多角形の面積を求めて内側と外側の両方から円の面積を評価し近似値を得た。
紀元前3世紀: [法][値] アルキメデスは、円の面積が円周率と半径の平方の積に等しいことを証明した^[6]。さらに、3の平方根の最良近似分数 $265 / 153$ および $1351 / 780$ ( $265 / 153 < \sqrt 3 < 1351 / 780$ ) を利用して、円に外接および内接する正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、正九十六角形の辺の長さの上界および下界をそれぞれ計算することにより $3 + 10 / 71 < π < 3 + 1 / 7$ を求めた^[7]。小数だと $3.14084 < π < 3.14286$ である^[8]。
1世紀: [値] ローマ帝国の著名な建築家ウィトルウィウスは、 $25 / 8$ を使った。素数の $7$ よりも、 $2$ の $3$ 乗である $8$ で割ったほうが建築には便利だったためである。小数だと $3.125$ である^[9]。
2世紀: [値] 天文学者プトレマイオスは $377 / 120$ を使った。小数だと約 $3.1417$ である^[10]。; [値] 後漢の太史令だった張衡は、円に外接する正方形の周と円周を比べ、円周率を $\sqrt 10$ とした。約 $3.162$ になる^[11]^[12]。
3世紀: [値] 呉の王蕃は $142 / 45$ を用いた。約 $3.1555$ である^[13]。
263年: [値] (3) 魏の劉徽は『九章算術』の注釈の中で、ブリソンと同様の方法を用い $3.14 + 64 / 62500 < π < 3.14 + 169 / 62500$ であることを示している（これは後に徽率として知られるようになった）。小数では $3.14102 4 < π < 3.14270 4$ である。さらに正 $3072$ 角形を用いて、 $3.14159$ という近似値も得た^[14]^[13]^[15]。なお小数は紀元前の中国で発明され、欧州に伝播したのは16世紀である。よって中国以外では分数によるのみであり、小数での記載はずっと後のことである。
5世紀: [値] (6) 7世紀に編纂された隋書律暦志^[16]によると、天文学者の祖沖之は、当時としては非常に正確な評価 $3.14159 26 < π < 3.14159 27$ を示した。以後1000年、これ以上正確な計算はなされず、ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには16世紀まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 $22 / 7$ （ $3. 142857 \dots$ ）と $355 / 113$ （約 $3.14159 29$ ）を与えている^[17]^[18]。正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正 $24576$ 角形の辺の長さを計算しなければならない（ただし、 $355 / 113$ については置閏法において用いた近似法から算出したと考えられている^[19]）。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の祖暅（そこう）は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる^[20]。
500年頃: [値] インドのアリヤバータは、円に内接する正 $n$ 角形と正 $2 n$ 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正 $384$ 角形の周の長さから $\sqrt 9.8684$ ( $≒ 3.14156$ ) と求めた。この平方根の近似値として $3927 / 1250$ ( $= 3.1416$ ) を与えた^[21]。
650年頃: [値] インドのブラーマグプタは、正 $12$ 角形、正 $24$ 角形、正 $48$ 角形、正 $96$ 角形の周の長さから、 $n$ が大きくなるにつれ正 $3 \times 2 n$ 角形の周の長さは $\sqrt 10$ に近づくとし、これを円周率とした^[22]。

1220年: [値] イタリアのレオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）が円周率を $864 / 275$ と計算した。これは、約 $3.1418$ である^[23]。

幾何から解析へ　— 14世紀から20世紀前半 —

「円に内接・外接する多角形に基づく近似」なる幾何学的な考察から「級数を利用した近似」なる解析的な考察への移行は、インドでは1400年頃から1500年代に、ヨーロッパでは1600年代に、日本では1700年代に起きた。

14世紀

1400年頃

インド南西部（現在のケーララ州）では天文学・数学が花開き、当時の世界最先端の研究が行われた。ケーララ学派と総称される学者たちは、三角関数・逆三角関数（正弦、余弦、逆正接）のマクローリン展開を天文計算に利用した^[24]。これらの級数はニーラカンタ（英語版）の時代には既に知られており、ニーラカンタの発見とされることがある^[25]^[26]。しかし、ニーラカンタの天文学書『アールヤバティーヤ・バーシャ』^[27]によると、正弦のマクローリン級数の展開式は彼より前の時代の学者の業績であるという。その学者とは、サンガマグラーマ（現：イリンジャラクダ）のマーダヴァである。以下の式も、マーダヴァの発見とされることが多い^[24]^[28]：

x=\tan x-{\frac {\tan ^{3}x}{3}}+{\frac {\tan ^{5}x}{5}}-{\frac {\tan ^{7}x}{7}}+\cdots

この級数展開は、以下と同等である。

\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots

この級数は、しばらくしてヨーロッパでもジェームズ・グレゴリーとゴットフリート・ライプニッツにより再発見され、一般的にはグレゴリー級数、もしくはライプニッツ級数などと呼ばれる。

[値] (10?) 一説によると、マーダヴァは上式から直ちに得られる等式、

\pi ={\sqrt {12}}\,{\biggl (}1-{\frac {1}{3\cdot 3^{1}}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots {\biggr )}

の21項を計算し、

π \approx 3.14159 26535 9

を得たという^[28]。これは小数点以下10桁目まで正しい（12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定）。別の資料によると、彼の近似値は

π \approx 2,827,433,388,233 / 900,000,000,000

で^[29]、これは

π \approx 3.14159 26535 92222\dots

に当たる。マーダヴァが円周率10桁を得たとすると、祖沖之の7桁以来、約1000年ぶりの世界記録更新である。

上記の級数を30項目まで使えば円周率の15桁が決定でき、42項目まで使えば20桁が決定できる。この他にもケーララ学派は円周率の評価に利用できるいくつもの結果を得ていて、その気になれば比較的簡単に円周率の桁数を伸ばせる立場にあった。実際、R. Gupta は、マーダヴァが約17桁まで計算したと予想している^[30]。しかし、記録は見つかっておらず、現時点では想像の域を出ない。

[法] ケーララ学派による円周率の近似は級数に基づくもので、剰余項も考察している。他地域ではこの200年後（ニーラカンタから数えても100年後）にまだ正多角形の外周に基づく計算をしていることを考えると、極めて先進的だった。円周率の計算法として新しいというだけでなく、無限や極限を扱う新しい数学への大きな一歩だった。

15世紀

1424年

[値] (16) ペルシャの天文学者・数学者ジャムシード・カーシャーニー（アラビア語名: アル＝カーシー）は、当時使われていた円周率の近似値の不正確さに不満を抱き、天文計算に必要十分な精度で円周と半径の比を決定したいと考えた。1424年の『円周論』^[31]において、彼はアルキメデスの方法を拡張して正

805,306,368

(

= 3 \times 2 28

) 角形を用いる計算を行い^[32]、60進数による次の評価を得た^[33]。

6;\,16,\,59,\,28,\,1,\,34,\,51,\,46,\,14,\,49,\,46<2\pi <6;\,16,\,59,\,28,\,1,\,34,\,51,\,46,\,14,\,50,\,15

ここで、

6; 16, 59, \dots

は

6 + 16 / 60 + 59 / 602 + \dots

を表す（彼は後に計算を再検討して、下界の末尾の桁を 46 から 45 に改めたという^[34]）。現代的な表記に直せば:

3.14159\,26535\,89793\,23084\ldots <\pi <3.14159\,26535\,89793\,25482\ldots

彼は近似値

2 π = 6; 16, 59, 28, 1, 34, 51, 46, 14, 50

を採用し、10進表示

π = 3.14159 26535 89793 25

も与えた^[35]。これは小数点以下16桁目まで正しく、末尾の17桁目も真の値に近い。記録に残る当時最良の円周率の近似値であり、この世界記録は1596年にルドルフ・ファン・コーレンが小数点以下20桁を示すまで172年間、破られなかった。この業績は、西洋では1920年代まで知られていなかった^[34]。

1500年頃

[学] ケーララの天文学者ニーラカンタが、円周率の無理性を指摘した。彼の著書『アールヤバティーヤ・バーシャ』^[27]には、こうある^[25]：「直径が何らかの長さの単位で計測されて、その単位の比として表されるなら、その同じ単位によって円周を同様に計測することはできない。よってまた同様に、円周が何らかの単位で計測可能であるのなら、直径はその同じ単位によっては計測できない。」

ケーララ学派は円周率の級数表示を知っていたため、この認識は自然に生じたのだろう。

[値] (9) ニーラカンタの『タントラ・サングラハ』には、エレガントな分数表示

π \approx 104348 / 33215

が含まれる^[25]。これは

22 / 7, 355 / 113

と同様の最良近似分数（より小さい分子・分母でこれより誤差の少ない近似値は作れない）で、小数点以下9桁目まで正しい。

16世紀

1503年

アルキメデスの『円の計測について』と『放物線の面積について』のラテン語訳が、ベネチアで出版された^[36]。

1543年

ニコロ・フォンタナ・タルタリア (Tartaglia) が、アルキメデスの一部の著作のラテン語訳をベネチアで再出版した^[37]。

1544年

アルキメデスの著作の原文が、初めてまとめて出版された。出版地はバーゼルで、ラテン語訳付きだった^[38]。これによりヨーロッパでは彼の業績が広く知られるようになり、円周率の研究もこれを出発点として本格的に再開された。この時点での西洋の円周率研究は紀元前のアルキメデスの時代からあまり進歩していなかったが、これ以降は急速に発展する。

1579年

[値] (9) フランソワ・ビエタが、円に内接・外接する正

393,216

角形の周の長さから

3.14159 26535 < π < 3.14159 26537

という評価をした。ビエタはさらに、無限乗積

x_{1}={\sqrt {\frac {1}{2}}},\quad x_{n+1}={\sqrt {\frac {1+x_{n}}{2}}}

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}

を示し

π

の計算を試みた^[39]。

1585年

[値] オランダのアドリアン・アンソニス（英語版）が

333 / 106 < π < 377 / 120

と評価し、両端の平均に近い値として

355 / 113

を得た。これは、約

3.14159 292

である^[40]。

1593年

[値] (15) フランドルのアドリアーン・ファン・ローメン（英語版）（ラテン語名：ローマヌス）が、『数学的観念序説：多角形法』の中で

3.14159 26535 89793 05 < π < 3.14159 26535 89793 15

に当たる評価を与え、

π \approx 3.14159 26535 89793 1

とした^[41]。これは小数点以下15桁目まで正しい。アル＝カーシーの世界記録16桁 (1424) にはわずかに及ばなかったが、この時点でヨーロッパ最良の近似値であり、ビエトの結果 (1579) の改良となっている。ただし、円周率の真の値は上記の区間に含まれておらず、厳密な評価ではない。計算は正

15 \times 2 24

（＝約2.5億）角形を用いるものだった^[42]。彼は21歳年上のファン・コーレンと親交があり、円周率に興味を持ち始めたのは彼の影響らしい^[43]。

1596年

[値] (20) ルドルフ・ファン・コーレン^[44]（ドイツ語読み：ファン・コイレン）が、『円について』で円周率の小数点以下20桁を決定した^[45]。ファン・コーレンはまず、正

5 \times 2｛ 25

（= 約2億）角形、正

4 \times 2 28

（= 約10億）角形、正

3 \times 2 31

（= 約60億）角形を用いて、円周率をそれぞれ12桁、16桁、18桁まで求めた。さらに、正

15 \times 2 31

(

= 32,212,254,720

) 角形に基づき次の評価を与えた:

3.14159\,26535\,89793\,23845<\pi <3.14159\,26535\,89793\,23847

上界・下界の平均を取って

π \approx 3.14159 26535 89793 23846

とすれば、結果的に全20桁が正しい。しかし、ファン・コーレンの態度は厳格で、上記の結果は19桁のみ有効であると正しく指摘した^[46]。最後に彼は

π

の20桁を示した:

3.14159\,26535\,89793\,23846<\pi <3.14159\,26535\,89793\,23847

この計算は、辺の数をさらに2倍にした正

15 \times 2 32

(

= 64,424,509,440

) 角形に基づく^[34]^[47]^[48]。ファン・ローメンの15桁の計算 (1593) の改良であり、アル＝カーシーの16桁の記録 (1424) を上回る新しい世界記録の達成だった。

ファン・コーレンはヒルデスハイムで生まれ、ホラント（現：オランダ西部）に移住した。フェンシングと数学の教師だった。高等教育は受けていなかったが、円積問題や円周率を巡る数学上の論争に巻き込まれ、1590年（50歳）頃から円周率に興味を持ち始めたらしい^[49]。

17世紀

1610年頃

[値] (35) ファン・コーレンは、1610年に亡くなるまでのいずれかの時点で、正

262

（＝約461京1686兆）角形を使って

π

の35桁目までを正しく評価した。この結果は、1621年、弟子のスネリウスの著書『キュクロメトリクス：円の計測について』^[50]で公表されたほか、本人の墓（生前の1602年に購入した記録がある）に刻まれた。墓石は後代に滅失したが、碑文とスケッチは残っており、2000年に復元された^[49]。かつてドイツでは、彼の名に因んで円周率をルドルフ数 (Ludolphsche Zahl) と呼んだ^[51]。

1621年

[法][値] オランダのヴィレブロルト・スネル（ラテン語名: スネリウス）が、円周の長さの評価式を与える。

{\frac {3\sin \theta }{2+\cos \theta }}<\theta <{\frac {2\sin \theta +\tan \theta }{3}}

この式と円に内接・外接する正

6

角形から

3.14022 < π < 3.14160

と評価した。この式の証明はクリスティアーン・ホイヘンスによって与えられ、さらにホイヘンスによって改良された結果、正六角形を用いただけで

3.14159 26533 < π < 3.14159 26538

と評価できるまでになった^[52]。

スネリウスはファン・コーレンの弟子だった。彼の方法なら、ファン・コーレンが正

262

角形を使って得た35桁は、

230

角形を考えるだけで得られるという。その気になれば、計算記録を更新できる立場だった。しかし、彼は別の分野で活躍しており、すでに35桁あった円周率の有効数字をさらに伸ばすために時間を割くことはしなかった。

1630年

[値] (38) オーストリア出身の天文学者・数学者クリストフ・グリーンベルガー（英語版）は、スネリウスの手法を用いて円周率の小数点以下39桁目までを計算し、1630年に出版された自著『三角法の基礎』の中で公表した^[53]。39桁目は 7 だが、彼はそれを 6 と 9 の間だと正しく評価した^[54]。桁数という意味では38桁目まで確定させたことになる。

1655年

[法] イギリスのジョン・ウォリスは無限乗積

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}

を示した。ビエタの公式のように根号が無いため計算はしやすいが、収束はとても遅い^[55]。

同じくイギリスのブラウンカーが、連分数を用いた公式

{\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {\left(2n-1\right)^{2}}{2+\cdots }}}}}}}}

を示した^[56]。この公式により

π

が無理数であることが分かる。

1663年

[値] 村松茂清が『算俎』を著し、円に内接する正

2 n

角形

(2 \leq n \leq 15)

の辺の長さから

π ≒ 3.1415 92648 77769 88692 48

とし、小数点以下7桁まで正しい値を求めた。ファン・コーレンなどの計算には遠く及ばないものの、近似値として単に

3.16

という値を示すのみであった『塵劫記』や、中国などを通じて入ってくる算書に頼り切ってきたそれ以前の和算から一歩を踏み出し、日本で初めて数学的な方法で円周率を計算し発表した和算家が村松である。和算において、円周率をはじめとする円に関する研究は「円理」と呼ばれ、一定の発展を見せたが、例えば外接多角形との「はさみうち」によって何桁目まで正しいかを論証する、といったような基本的な数学的発展さえわずかであったのが「和算の限界」であった（円周率#和算における円周率の取り扱い）。

1665年

[学] イギリスの政治哲学者のトマス・ホッブズが円積問題の解を公表し、ウォリスとの間で論争になる。ホッブズは死ぬまで厳密解と近似解の違いを理解できずに論争を続けた^[57]。

1671年

[法] スコットランドのジェームス・グレゴリーにより、グレゴリー級数

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {1}{5}}\,x^{5}-{\frac {1}{7}}\,x^{7}+\cdots

が発見される。これとは独立に1674年にゴットフリート・ライプニッツも同じ発見をしており、グレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれる。ライプニッツは

x = 1

を代入し、マーダヴァと同じ級数を得た^[58]。

1681年

[値] 暦の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、関孝和が正

131,072

角形を使って小数第 16 位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159 26535 9微弱」というものだった^[59]が、エイトケン補外を用いた途中計算では小数第 16 位まで正確に求めている^[60]。西洋でエイトケン補外が再発見されたのは1876年、ハンス・フォン・ネーゲルスバッハ（Hans von Nägelsbach）によってである^[60]^[61]。

1699年

[値] (72) イギリス人のエイブラハム・シャープがグレゴリー・ライプニッツ級数に

x={\frac {1}{\sqrt {3}}}

を入れ、

π

を小数第 72 位まで求めた^[62]。

18世紀

1706年

[法][値] (100) イギリスのジョン・マチンがマチンの公式

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

を発見する。さらに、この関係式にグレゴリー・ライプニッツ級数を用いて小数第 100 位までの円周率を求めた^[63]。

[文] ウィリアム・ジョーンズが初めて

π

を円周率の意味で用いた。1748年にレオンハルト・オイラーも同じ記法を用いたことで円周率を

π

と表記することが広まった^[64]。

1719年

[値] (127) フランスのトーマス・ラグニーが、シャープの方法で小数第 127 位まで計算を行う^[65]。

1722年

[値] 建部賢弘が『綴術算経』（てつじゅつさんけい）を著し、正

1024

角形を用いて小数第 42 位まで求めた^[66]。「累遍増約術」（リチャードソン補外）を適用し、関孝和の計算に比べて遥かに少ない計算で精度を大いに改善している。なお、ルイス・フライ・リチャードソンによる同手法の提案は1910年頃である。

1761年

[学] ドイツのヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによって

π

が有理数でないことが証明される^[67]。

18世紀中頃

[法] レオンハルト・オイラーによって、多くの

π

に関する式が発見される。オイラーは

{\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}

を用いて、たった1時間で円周率を小数第 20 位まで計算した^[68]。

1775年

[学] フランスの科学アカデミーが、ギリシアの三大作図問題と永久機関についての論文審査を拒否する決議をした^[69]。

1789年

[値] (137) スロベニアの数学者ユーリイ・ヴェガ（英語版）は、マチンの公式を用いて小数第 140 位まで値を求め、小数第 137 位までが正しかった。この記録はその後50年破られることがなかった^[70]。

1794年

[学] アドリアン＝マリ・ルジャンドルによって

π

は有理数の平方根にならないことが証明される^[71]。

19世紀

19世紀初期

[法] カール・フリードリヒ・ガウスとアドリアン＝マリ・ルジャンドルが独立に、算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を利用した反復計算アルゴリズムを研究。1970年代に再発見され、現在ではガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムと呼ばれる。円周率を計算するものの中では非常に収束が速い。

1850年頃 - 1873年

[値] (527) イギリスのウィリアム・ラザフォードとその弟子のウィリアム・シャンクスがマチンの公式を用いて桁数の記録を塗り替えた。1852年にラザフォードが小数第 441 位、シャンクスが小数第 530 位まで計算し、小数第 441 位までは両者の計算が一致していることでその計算の正しさを確認できた。しかし、

arctan 1 / 5

が小数第 530 位までしか正しくなく、シャンクスの計算で正しかったのは、小数第 527 位までであった。その後、シャンクスは1872年に小数第 707 位まで達したが、この誤りが最後までつきまとった^[72]。

1882年

[学] フェルディナント・フォン・リンデマンによって

π

が代数的数でないことが証明される。これにより

π

の超越性が証明され、円積問題も否定的に解決された^[73]。

1896年

[法] カール・ストーマー（英語版）は公式

{\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}

を発見する^[74]^[75]。

1897年

→詳細は「インディアナ州円周率法案」を参照

[文][値] アメリカ合衆国のインディアナ州の下院で、医者のエドウィン・グッドウィンによる円積問題解決方法を盛り込んだ議案246号が満場一致で通過した。グッドウィンの方法から得られる値は

π = 3.1604, 3.2, 3.232, 4

であり、このうち 4 については、公式に認められた最も不正確な円周率の値としてギネスブックに記載された。この法案は各審議会を通過していき上院に承認を求める段階にまで達した。しかし世論の批判に遭い、2月12日に上院によって議論の無期限延期が決められ、法案成立目前で却下された^[76]。

20世紀

1910年

[法] ラマヌジャンによって、級数表示

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{(n!)^{4}}}{\frac {26390n+1103}{396^{4n}}}

が発見される^[77]^[78]。この公式は、ジョナサン & ピーター・ボールウェイン兄弟によって1987年に厳密に証明されるが、1985年にウィリアム・ゴスパーがこの公式を用いて円周率を計算し、その正確さを示している。

1945年

[値] (540) ファーガソン (D.F.Ferguson) が小数第 540 位までを計算し、ウィリアム・シャンクスの誤りを指摘する。シャンクスの計算は約70年間も信用されていた^[79]。

このファーガソンの計算までが手計算によるものだった。手計算の時代は誤りが起こることも多かったが、この時代の数学の成果は、現代の計算機による円周率の計算においても非常に重要な役割を果たすことになる。

計算機による計算の時代　— 20世紀後半以後 —

→「任意精度演算」も参照

1947–1948年

[値] (808) ファーガソンは、卓上計算機を使用して808桁まで求めた。この計算は、レビ・スミスとジョン・レンチによっても検算され、シャンクスの計算が間違いであることが繰り返し確認された^[80]^[79]。

1949年

[値] (2037) ライトウィーズナーが ENIAC を用いてマチンの公式により 2037桁を 70時間かけて計算した^[80]^[81]。

1954年

[値] (3092) S・C・ニコルソンとJ・ジーネルが、IBM NORC を用いて3089桁を13分で計算した^[82]^[83]。

1958年

[値]（1万）フランソワ・ジェニューイが、IBM 704 を用いて 1万桁まで計算した^[74]^[84]。

1961年

[値]（10万）ジョン・レンチとダニエル・シャンクスが IBM 7090 を用いて 10万桁まで計算した。計算にはストーマーの公式

{\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}

を使用した。検算にはガウスの公式

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}

を使用した^[85]^[86]。

1966年

[値]（25万）パリの原子力エネルギー委員会にある IBM 7030 を用いて25万桁まで計算した^[85]^[87]。

1967年

[値]（50万）パリの原子力エネルギー委員会にある CDC 6600 を用いて50万桁まで計算した^[85]^[87]。

1973年

[値]（100万）ジャン・ギューとマルティーヌ・ブイエが CDC 7600 を用いて 100万1250桁まで計算した。

[法] ユージン・サラミンとリチャード・ブレントが独立に、算術幾何平均を用いたアルゴリズムを発見する。現在ではガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムと呼ばれる。

1982年

[値]（209万）田村良明が MELCOM COSMO 900 Ⅱ を用いてサラミンとブレントのアルゴリズムにより209万7144桁まで計算^[88]。

[値]（419万）田村良明と金田康正が HITAC M-280H を用いて419万4288桁、ついで838万8576桁まで計算^[88]。

1983年

[値]（1677万）金田康正と吉野さやかが HITAC M-280H を用いて1677万7206桁まで計算^[88]。

[値]（1001万）後保範と金田康正が HITAC S-810/20 を用いて1001万3395桁まで計算。アルゴリズムはガウスの公式による^[88]。

[値]（7万）若松登志樹がシャープのパソコン MZ-80B を用いてガウスの公式

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}

により7万1508桁まで計算^[89]。

1985年

[値]（1752万）ウィリアム・ゴスパーがシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの式を用いて、1752万6200桁まで計算した。

1989年

この年は、チュドノフスキー兄弟（英語版）と金田康正・田村良明によって激しい計算競争が行われた。

[値]（4.80億）5月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって4億8000万桁まで計算された。

[値]（5.36億）7月に金田康正と田村良明によって5億3687万898桁まで計算された。

[値]（10.1億）8月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって10億1119万6691桁まで計算された。

[値]（10.7億）11月に金田康正と田村良明によって10億7374万1799桁まで計算された^[90]。

1990年

[値]（100万）若松登志樹が富士通のパソコン FM-TOWNS を用いてシュテルマーの公式

{\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}

により100万118桁まで計算^[91]。

1994年

[法] チュドノフスキー兄弟によって級数

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\,(6n)!}{(n!)^{3}\,(3n)!}}{\frac {545140134n+13591409}{640320^{3n+{\tfrac {3}{2}}}}}

が発見された。

1995年 9月19日午前0時29分

[法] カナダのサイモン・フレーザー大学で、デビット・H・ベイリー、ピーター・ボールウェイン、サイモン・プラウフの研究チームがBBP公式

\pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)

を発見する。この式は

π

の値の二進法（及び十六進法など、二進法と直接変換可能な記法）による表現について、任意の

n - 1

桁目までの計算を必要とせずに、直接

n

桁目およびそれ以降を計算できる。ベイリーのウェブサイトで様々なプログラミング言語用の実装例を見ることができる。

他の位取り記数法（たとえば十進法）で同様の級数が存在するかは判明していない。

1996年3月18日

[文] 同人団体暗黒通信団により『円周率1000000桁表』初版が発行される。

1997年

[値]（515億）金田康正と高橋大介が HITACHI SR2201 を用いて 4次のボールウェインのアルゴリズムにより 515億3960万桁まで計算した。

1999年

[値]（2061億）金田康正と高橋大介（埼玉大学）が HITACHI SR8000 (1 TFLOPS) を用いてガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムと分割有理数化法 (DRM)^[92]により 2061億5843万桁まで計算し、4次のボールウェインのアルゴリズムで検証した。

2002年

[値](1.24兆) 金田康正が HITACHI SR8000（0.9TFOPS、約850GB使用、検証含め約84時間）を用いて高野喜久雄の公式

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

と分割有理数化法により1兆2411億桁まで計算した。検証計算などを含めて約600時間かけた。

2009年8月

[値]（2.57兆）筑波大学計算科学研究センターの高橋大介が、円周率を2兆5769億8037万桁まで計算する世界記録を樹立したと発表した。「T2K筑波システム」（毎秒95兆回）を使い、検証計算を含めて約73時間36分を要した^[93]^[94]。

2009年12月

[値]（2.69兆）フランスのファブリス・ベラール（en:Fabrice Bellard、QEMU や FFmpeg などが知られる）が、Intel Core i7 を搭載したデスクトップPCでチュドノフスキーの級数を用いて2兆6999億9999万桁まで計算し、世界記録を樹立した。バイナリーでの計算に103日、検算に13日。データ量 1137GB^[95]。2.93GHz のクアッドコアプロセッサ、6GB のメモリ、7.5TB のストレージを搭載したデスクトップPCを使用し、検証計算を含めて131日を要した^[96]。

2010年

[値]（5兆）長野県飯田市の会社員近藤茂と米国のアレクサンダー・J・イーが、3カ月かけてパソコンで小数点以下5兆桁まで計算した^[97]^[98]^[99]。

2011年

[値]（10兆）近藤茂とアレクサンダー・J・イーが、1年1カ月かけてパソコンで小数点以下10兆桁まで計算したと発表^[100]。

2013年

[値]（12.1兆）近藤茂とアレクサンダー・J・イーが、94日かけてパソコンで小数点以下12.1兆桁まで計算したと発表^[101]。

2014年

[値]（13.3兆）Sandon Nash Van Ness が208日をかけてワークステーションで小数点以下13.3兆桁まで計算したと発表^[102]^[103]^[104]。この数カ月後にVan Nessは死去。

2016年

[値]（22.4兆）ピーター・トリュープが、105日をかけてパソコンで小数点以下22兆4591億5771万8361桁まで計算したと発表^[105]^[106]。

2019年 3月14日

[値]（31.4兆）Googleの技術者、岩尾エマはるかが同社のクラウドコンピューティングサービス「Google Cloud」を用いて、111日かけて31兆4159億2653万5897桁まで計算したと発表^[107]。

2020年 1月29日

[値]（50兆）Timothy Mullican が、303日をかけてパソコンで50兆桁まで計算したと発表^[108]^[109]。

2021年 8月16日

[値]（62.8兆）スイスのグラウビュンデン応用科学大学は、108日と9時間かけてスーパーコンピュータで62兆8318億5307万1796桁まで計算したと発表^[110]^[111]。

2022年 6月9日

[値]（100兆）Googleの技術者、岩尾エマはるかがGoogle Cloudで、チュドノフスキー級数を用いて157日23時間31分7.651秒かけて100兆桁まで計算し、BBP公式で検証したと発表^[112]^[113]。

2024年 3月13日

[値]（105兆）StorageReviewの編集者らがチュドノフスキー級数を用いて105兆桁まで計算し、検証したと発表^[114]。6月28日にも同様の方法で202兆1122億9000万桁まで計算したことを発表^[115]。

脚注

[脚注の使い方]

出典

^ ベックマン 2006, pp.35-37, p.338.
^ ^a ^b 中村滋・室井和男『数学史数学5000年の歩み』共立出版、2014年、ISBN 978-4-320-11095-3, pp.33-34
^ ベックマン 2006, pp.38-43. 年代表 (p.338) では前2000年頃としている。
^ ベックマン 2006, pp.61-62. 年代表 (p.338) では前434年頃としている。
^ ベックマン 2006, pp.62-63. 年代表 (p.338) では前430年頃としている。
^ 『円の計算』命題一：任意の円は、つぎのような直角三角形――すなわち、その半径が直角を挟（はさ）む一辺に等しく、円の周が底辺に等しいような直角三角形（の面積）に等しい。アルキメデス 1972, pp.482-483.
^ 『円の計算』命題三：任意の円の周はその直径の3倍よりも大きく、その超過分は直径の $1 / 7$ よりは小さく、 $10 / 71$ よりは大きい（ $3+ 10 / 71 < π < 3+ 1 / 7$ ）。アルキメデス 1972, pp.484-487.
^ ベックマン 2006, pp.109-114, p.338.
^ ベックマン 2006, p.100.
^ ベックマン 2006, p.126, p.338.
^ ベックマン 2006, p.47, p.338.
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^ ^a ^b ベックマン 2006, p.338.
^ ベックマン 2006, p.48では264年としている。
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Liu Hui”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
^ 隋書律暦志上（ウィキソース中国語版）。
^ ベックマン 2006, p.48, p.338.
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^ ^a ^b 『アールヤバティーヤ』(Āryabhaṭīya) は、天文学者アールヤバタ (476–550) の著作（カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う）。『アールヤバティーヤ・バーシャ』(Āryabhaṭīya-bhāṣya) は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。
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参考文献

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外部リンク

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[3] ベックマン 2006, pp.38-43. 年代表 (p.338) では前2000年頃としている。

[4] ベックマン 2006, pp.61-62. 年代表 (p.338) では前434年頃としている。

[5] ベックマン 2006, pp.62-63. 年代表 (p.338) では前430年頃としている。

[6] 『円の計算』命題一：任意の円は、つぎのような直角三角形――すなわち、その半径が直角を挟（はさ）む一辺に等しく、円の周が底辺に等しいような直角三角形（の面積）に等しい。アルキメデス 1972, pp.482-483.

[7] 『円の計算』命題三：任意の円の周はその直径の3倍よりも大きく、その超過分は直径の $1 / 7$ よりは小さく、 $10 / 71$ よりは大きい（ $3+ 10 / 71 < π < 3+ 1 / 7$ ）。アルキメデス 1972, pp.484-487.

[8] ベックマン 2006, pp.109-114, p.338.

[9] ベックマン 2006, p.100.

[10] ベックマン 2006, p.126, p.338.

[11] ベックマン 2006, p.47, p.338.

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[#1-13] ベックマン 2006, p.338.

[14] ベックマン 2006, p.48では264年としている。

[MacTutor-Liu_Hui-15] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Liu Hui”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[16] 隋書律暦志上（ウィキソース中国語版）。

[17] ベックマン 2006, p.48, p.338.

[MacTutor-Zu_Chongzhi-18] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Zu Chongzhi”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[19] 曲安京[著], 城地茂(訳)「祖冲之は,如何に円周率π=355/113を得たか? (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1257巻、京都大学数理解析研究所、2002年4月、163-172頁、hdl:2433/41934、ISSN 1880-2818。

[MacTutor-Zu_Geng-20] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[21] ベックマン 2006, pp.44-45, p.338.

[22] ベックマン 2006, pp.45-46, p.338.

[23] ベックマン 2006, pp.143-145, p.338.

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[26] Shirali, Shailesh A. (1997), “Nīlakaṇṭha, Euler and π” (PDF), Resonance 2 (5): 29–43, doi:10.1007/BF02838013. [著者は補足として、この級数はマーダバの功績だという説に触れている (PDF)。]

[Bhasya-27] 『アールヤバティーヤ』(Āryabhaṭīya) は、天文学者アールヤバタ (476–550) の著作（カタカナで書くとアーリャバタ、アーリャバティーヤだが、日本語ではアールヤバタ、アールヤバティーヤと呼ばれているのでそれに従う）。『アールヤバティーヤ・バーシャ』(Āryabhaṭīya-bhāṣya) は、約1000年後のニーラカンタが『アールヤバティーヤ』を解説したもの。

[MacTutor-Madhava-28] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Madhava of Sangamagramma”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[29] Bag, Amulya Kumar (1980). “Indian literature on Mathematics during 1400-1800 AD”. Indian journal of History of Science (Indian National Science Academy) 15 (1): 79-93. http://repository.ias.ac.in/74661/.

[30] Pearce, Ian (2002), “Madhava of Sangamagramma”, Indian Mathematics: Redressing the balance 2012年9月21日閲覧。

[31] الرسالة المحيطية ar-risālah al-muḥīṭiyyah — ar- は al- とも書かれ、iyy は īy または īyy とも書かれる。語末の h は表記しないことがある。

[32] Azarian, Mohammad K. (2010), “al-Risāla al-muhītīyya: A Summary” (英語) (PDF), Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64-85.

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[35] 正確には、 $5 \times 2 π$ の近似値 $31.41592\dots$ を小数第16位まで示した。

[36] (ラテン語) Tetragonismus idest circuli quadratura. (1503). http://mathematica.sns.it/opere/144/ 『四角形主義: 円の求積法』

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[38] (ギリシャ語・ラテン語) Ἀρχιμήδους του Συρακουσίου, τα μέχρι νῦν σωζόμενα, ἃπαντα. Archimedis Syracusani philosophi ac geometrae excellentissimi opera. (1544) 『シュラークーサイの人アルキメーデースの現存する全著作: 卓越した哲人幾何学者の作品集』

[39] ベックマン 2006, pp.157-163.

[40] ベックマン 2006, p.173.

[41] Romanus, Adrianus (1593) (ラテン語). Ideae mathematicae pars prima, sive methodus polygonorum

[42] 「円に内接・外接する2億5165万8240角形を考える」とあり[1]、15角形を第1段階として辺の数を次々と2倍にして第25段階で結果を得ている[2]。

[MacTutor-Roomen-43] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Adriaan van Roomen”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[44] 標準オランダ語では v は有声音なので、van の部分はバン（ヴァン）と表記するべきかもしれない。彼の住んだ地域の方言では（少なくとも現代では）v が無声音として発音されるということから、暫定的にファン・コーレンと表記しておく。

[45] Van Ceulen, Ludolf (1596) (オランダ語). Vanden Circkel [Van den Circkel] [簡易校訂版（PDF）]

[46] Deimen, Inga; Hendriks, Maxim; Pronk, Matthijs (2006) (オランダ語) (PDF), Van den cirkel, wortels en π, p. 5. 2012年9月30日閲覧。 [著者らは20桁目を5または6としているが、実際には7になる可能性もあった。]

[47] Wepster, Steven (2008). “Van Ceulens veelhoeken en veeltermen” (オランダ語) (PDF). Nieuwe Wiskrant 28 (1): 46.

[48] (オランダ語) Van den Ronden Cirkel- Hoofdstuk 11, ユトレヒト大学数学学部

[MacTutor-Ludolph-49] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Ludolph Van Ceulen”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .

[50] Snellius, Willebrordus (Snel, Willebrord) (1621) (ラテン語). Cyclometricus, De circuli dimensione

[51] ベックマン 2006, p.174, p.339.

[52] ベックマン 2006, pp.146-148,188-190, p.339.

[53] アーネスト・ウィリアム・ホブソン (1913) (英語). “Squaring the Circle”: A History of the Problem. ケンブリッジ大学出版局. p. 27 [本書では、グリーンベルガーの著作名 Elementa Trigonometrica が Elementa Trigonometriae と記されている。]

[54] Grienbergerus, Christophorus (Grienberger, Christoph) (1630) (ラテン語). Elementa Trigonometrica

[55] ベックマン 2006, pp.213-214, p.339.

[56] ベックマン 2006, pp.216-220, p.339.

[57] ベックマン 2006, p.216.

[58] ベックマン 2006, pp.220-222, p.339.

[59] 「得三尺一寸四分一厘五毛九糸二忽六微五繊三紗五塵九埃微弱，為定周」平山 2007, pp.57-58.

[soluble-60] 中村佳正編、可積分系の応用数理、第6章、裳華房、2000年、ISBN 4-7853-1520-2.

[61] H.von.Nägelsbach, Arch.Math.Phys. 59(1876)147-192.

[62] ベックマン 2006, p.236, p.339.

[63] ベックマン 2006, pp.236-237, p.339.

[64] ベックマン 2006, p.237, p.240, p.339.

[65] ベックマン 2006, p.237, p.339.

[66] ベックマン 2006, p.175, p.326.では小数点以下41桁としている。

[67] ベックマン 2006, pp.280-281では1767年としている。p.339では1766年としている。

[68] ベックマン 2006, p.256.

[69] ベックマン 2006, p.287.

[70] ベックマン 2006, p.175, p.339.

[71] ベックマン 2006, p.282, p.339.

[72] ベックマン 2006, pp.176-177, p.339.

[73] ベックマン 2006, p.280, p.340.

[#2-74] ニーバージェルトほか 1976, p.216.

[75] ベックマン 2006, p.304.

[76] ベックマン 2006, pp.288-293.

[77] シュリニヴァーサ・ラマヌジャン (1914). “Modular Equations and Approximations to pi”. Journal of the Indian Mathematical Society (Indian Mathematical Society) (XLV): 350-372.

[78] G.H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson, ed (1962). Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. Chelsea Publishing Company. pp. 23-29

[#3-79] ベックマン 2006, p.177, p.340.

[#4-80] ニーバージェルトほか 1976, p.215.

[81] ベックマン 2006, p.302, p.340.

[82] ニーバージェルトほか 1976, pp.215-216.

[83] ベックマン 2006, pp.302-303, p.340.

[84] ベックマン 2006, p.303, p.340.

[#5-85] ニーバージェルトほか 1976, pp.216-217.

[86] ベックマン 2006, pp.303-305, p.340.

[#6-87] ベックマン 2006, p.305, p.340.

[#7-88] 田村 1987

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[91] 若松 1990

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表話編歴数学
主要分野	数理論理学集合論圏論代数学初等線型多重線型抽象算術/数論解析学/微分積分学関数解析学行列解析幾何学代数微分有限離散位相代数的位相表現論リー理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力学系組合せ数学数理物理学ゲーム理論グラフ理論最適化問題数理最適化計算理論確率論数理統計学（英語版）制御理論三角法
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