常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 $t$ の未知関数 $x (t)$ に対して、（既知の）関数 $F$ を用いて

F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。 $x (k) (t)$ は未知関数 $x (t)$ の $k$ 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).

ここで $F, x$ は

{\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの $n$ 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

線型常微分方程式

→「線形微分方程式」も参照

常微分方程式が

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)

の形に表されるとき線型であるという。ただし、 $a k (t)$ および $b (t)$ は $t$ を変数とする既知の関数である。 $b (t) = 0$ の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。

非線型常微分方程式

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている^[1]^[2]^[3]。以下に例を挙げておく ^[1]^[3]^[4]。

1階非線型常微分方程式^[1]^[3]

y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.

y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.

ここに、 $n$ は実数であり、 $f (\cdot)$ は既知関数である。

{\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).

m, n

は実数，ただし，

m \neq 0

，

f

は既知関数。

{\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).

A (x)

，

F

は既知関数。

{\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.

A (x)

，

B (x)

，

F

は，いずれも既知関数。

2階非線型常微分方程式^[1]^[3]^[4]

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).

上記の $P (x)$ と $f (\cdot)$ は既知関数とする。

y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.

n

は実数，ただし，

n \neq 2

，

f

は既知関数。

x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.

f

(

y

) は既知関数。

x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.

　　α, γ,

n

は実数．ただし，

n \neq -1

。

{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).

f (\cdot)

は既知関数。

\alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m

は実数．ただし，

\gamma \ell -\beta {m}=0

。

連立常微分方程式

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 $t$ と複数の未知関数 $x 1 (t),..., x n (t)$ およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、 $t$ の 2 つの未知関数を $x 1 (t), x 2 (t)$ とする。それらの一階の導関数を $x' 1 (t), x' 2 (t)$ として、

F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,

G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0

は一つの連立常微分方程式である。ただし、 $F, G$ は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と $m$ 個の未知関数およびその $n$ 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.

ここで $x i (j) (t)$ は、未知関数 $x i (t)$ の $j$ 階の導関数である ( $i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n$ )。なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。これら $r$ 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 $x 1 (t),..., x m (t)$ をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 $x$ の未知関数を $y, z$ とし、 $a, b, c, d$ を定数とすると、

{\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,

{\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている^[1]^[2]^[3]。一例を挙げておく^[3]^[5]。

{\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}

$x$ は独立変数であり、 $y, z, w$ は $x$ を変数とする未知関数である。また、 $F, G, H$ を既知関数とする^[5]。

出典

[脚注の使い方]

^ ^a ^b ^c ^d ^e 長島隆廣　『常微分方程式80余例とその厳密解』　近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京　本館書庫）。
^ ^a ^b 長島隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 長島隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
^ ^a ^b 長島隆廣『数学セミナー』，日本評論社，1986年5月号，第25巻，第5号，通巻294号，pp.94-95。
^ ^a ^b 長島隆廣『数学セミナー』，日本評論社，1988年3月号，第27巻，第3号，通巻316号，p.98。

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