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重根 (多項式)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

重根(じゅうこん、: multiple root)とは、1変数多項式 のうち重複度が2以上のもののことをいう。

概要

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1 変数多項式 が、定数 , , , …, を用いて

の形に因数分解され、, , …, の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を の重根という。

方程式 の解は一般に

つまり xy-座標系において x 軸との交点の x 座標である。 が1変数多項式のとき、x 軸に接するなら、 の重根となる。

したがって における微分も 0 となり、 の重根であることと

であることは同値である。

定義

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K 上の多項式 K の元 に対し、 が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 と多項式

を満たすものが存在するとき、重根という。特に を根に持たないならば、 を根 重複度(ちょうふくど、multiplicity)という。

判別式

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多項式 の根を , , …, とし、その全体から作られる最簡交代式(差積)の平方

を多項式 あるいは方程式 判別式(はんべつしき、discriminant)という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

  1. 差積の平方が根に関する対称式となること
  2. 対称式が基本対称式で表すことができること
  3. 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること(根と係数の関係

によって保証される。

たとえば、二次方程式 ) の根を , とすると、根と係数の関係により

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

となる。より であるので、実用上は分母を掃った を判別式として用いることが多い。

関連項目

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