多項定理

数学における多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。

定理の主張

多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 $m$ , 非負整数 $n$ に対して、 $m$ 項和の任意の $n$ -冪を展開すると

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}

となることを示すものである。ここで係数 $(n k 1, \dots, k m)$ は多項係数と呼ばれ、

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}

となる。また、 $k 1, k 2, \dots, k m$ は非負整数であり、総和は $k 1 + k 2 + \dots + k m = n$ となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は $n$ となる。また、 $x 0$ はここでは、二項定理の場合と同様に、（ $x$ が零のときも含めて恒等的に） $1$ と定義している。

$m = 2$ のとき、主張は二項定理である。

多重添字記法を用いると、定理の主張は

(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }

略記できる。ここに、 $α = (α 1, α 2, \dots, α m), x = (x 1, x 2, \dots, x m)$ であって、 $x α = x α 11 x α 22 \cdot \dots \cdot x α m m$ および $|α| = α 1 + α 2 + \dots + α m, α! = α 1! α 2! \cdot \dots \cdot α m!$ に対して $(nα) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n!/α! = |α|/α!$ である。

例えば、 $(a+b+c)^{3}$ を展開すると、次のようになる：

{\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+3c^{2}a+3ca^{2}+6abc\end{aligned}}

証明

組合せ論的証明

二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。

$n$ 個の $(x 1 + x 1 + \dots + x m)$ の積を一度に展開し切ることを考える。

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}

一度に展開すると、それぞれの $(x 1 + x 1 + \dots + x m)$ から $x 1, \dots, x m$ の1つだけを取った文字 $n$ 個の総乗の総和となる。

これらの積のうち、並び替えて $x 1 k 1 \dots x m k m (k 1 + \dots + k m = n)$ になるものは、 $k 1$ 個の $x 1$ 、…、 $k m$ 個の $x m$ を並べる場合の数だけあるから、多項係数 $(n k 1, \dots, k m)$ 、すなわち $x 1 k 1 \dots x m k m$ の係数は $n! / k 1!\dots k m!$ となる。

指数について帰納法

二項定理と同様に、指数 $n$ についての数学的帰納法で証明できる。

$n =1$ のとき、

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{1}=1x_{1}+1x_{2}+\cdots +1x_{m},

{\frac {1!}{1!\,0!\,\cdots 0!}}=1

より成り立つ。

ある $n$ について成り立つと仮定する。

(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

より、

{\hphantom {=}}\;(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n+1}

=(x_{1}+\cdots +x_{m})(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}

=(x_{1}+\cdots +x_{m})\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

=x_{1}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+x_{m}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}+1}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}+1}

=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

\left(\because {\binom {n}{\cdots ,-1,\cdots }}=0\right)

=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}

最後の等号は

{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}={\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}

が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示：

{\frac {n!}{(k_{1}-1)!k_{2}!\cdots k_{m-1}!}}+\cdots {\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m-1}!(k_{m}-1)!}}

を通分すると左辺になることが示せる。

項数について帰納法

二項定理を既知とすると、項数 $m$ について数学的帰納法により証明できる。

まず $m = 1$ のとき、 $k 1 = n$ であり両辺は単項で $x 1 n$ に等しい。

次に、 $m$ に対して多項定理が成り立つと仮定する。

(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m-1}+(x_{m}+x_{m+1}))^{n}

に帰納法の仮定を適用して

{\begin{aligned}&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\left({\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\right)\\&({\text{binomial theorem}})\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&({\text{refer the below described Annotation}})\\\end{aligned}}

を得る。最後の等号は

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\binom {K}{k_{m},k_{m+1}}}={\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}

が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば

{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}

と示せる。

応用例

一般ライプニッツ則

3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる：

$(f_{1}\cdots f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{f_{1}}^{(k_{1})}\cdots {f_{m}}^{(k_{m})}$

参考文献

外部リンク