利用者:Sierpinski/sandbox/テーブルサンプル

論理学において、記号は広く論理的表現を表すのに用いられている。以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。加えて、非形式的な定義と単純な例を。そしてUnicodeにおける符号位置や文字参照、LaTeXで使用可能なコマンドを記している。

基礎的な論理記号

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

⇒

実質含意

含む; もし〜ならば

命題論理, ハイティング代数

「

A \Rightarrow B

」は、

A

が偽または

B

が真であるときのみ、真となる。

「→」は「⇒」と同じ意味である。（またこの記号は関数の定義域と終集合を表す。詳しくは数学記号の表を見よ）

「⊃」も「⇒」と同じ意味である。（また上位集合も意味する）

x = 2 \Rightarrow x 2 = 4

は真である。ただし

x 2 = 4 \Rightarrow x = 2

は一般に偽である（ここで

x

は -2 の可能性もある）。

U+21D2

&#8658;

&rArr;

  
        ⇒
      
    {\displaystyle \Rightarrow }
  
 \Rightarrow

        ⟹
        
    {\displaystyle \implies }
  
 \implies

→

U+2192

&#8594;

&rarr;

  
        →
      
    {\displaystyle \to }
  
 \to

⊃

U+2283

&#8835;

&sup;

  
        ⊃
      
    {\displaystyle \supset }
  
 \supset

⇔

実質等値	〜のとき、かつそのときに限り; iff;	命題論理
「 $A \Leftrightarrow B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真、または共に偽のときのみ真となる。
$x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y$

U+21D4

&#8660;

&hArr;

  
        ⇔
      
    {\displaystyle \Leftrightarrow }
  
 \Leftrightarrow

        ⟺
        
    {\displaystyle \iff }
  
 \iff

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

↔

U+2194

&#8596;

&harr;

  
        ↔
      
    {\displaystyle \leftrightarrow }
  
 \leftrightarrow

¬

否定	〜ではない	命題論理
言明「 $\neg A$ 」は $A$ が偽のときのみ真となる。演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。
$\neg(\neg A) \Leftrightarrow A$ $x \neq y \Leftrightarrow \neg(x = y)$

U+00AC

&#172;

&not;

  
        ¬
      
    {\displaystyle \lnot }
  
 \lnot

        ¬
      
    {\displaystyle \neg }
  
 \neg

˜

U+02DC

&#732;

&tilde;

  
              ~
            
    {\displaystyle {\tilde {}}}
  
 \tilde{}

!

U+0021

&#33;

&excl;

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∧

論理積	かつ (and)	命題論理、ブール代数
言明「 $A \land B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
$n < 4 \land n > 2 \Leftrightarrow n = 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2227

&#8743;

&and;

  
        ∧
      
    {\displaystyle \land }
  
 \land

        ∧
      
    {\displaystyle \wedge }
  
 \wedge

·

U+00B7

&#183;

&middot;

  
        ⋅
      
    {\displaystyle \cdot }
  
 \cdot

⋅

U+22C5

&#8901;

&sdot;

&

U+0026

&#38;

&amp;

  
        &
      
    {\displaystyle \&}
  
 \&

∨

論理和	または (or)	命題論理、ブール代数
言明「 $A \lor B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
$n \geq 4 \lor n \leq 2 \Leftrightarrow n \neq 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2228

&#8744;

&or;

  
        ∨
      
    {\displaystyle \lor }
  
 \lor

        ∨
      
    {\displaystyle \vee }
  
 \vee

+

U+002B

&#43;

-

∥

U+2225

&#8741;

-

  
        ∥
      
    {\displaystyle \parallel }
  
 \parallel

⊕

排他的論理和	xor	命題論理、ブール代数
言明「 $A \oplus B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（両方ではない）が真のとき、真となる。「 $A ⊻ B$ 」も意味は同じ。
$(\neg A) \oplus A$ は常に真である。 $A \oplus A$ は常に偽である。

U+2295

&#8853;

&oplus;

  
        ⊕
      
    {\displaystyle \oplus }
  
 \oplus

⊻

U+22BB

&#8891;

-

  
        ⊻
      
    {\displaystyle \veebar }
  
 \veebar

⊤

トートロジー	トップ	命題論理、ブール代数
言明「 $⊤$ 」は無条件に真である。
$A \Rightarrow ⊤$ は常に真。

U+22A4

&#8868;

-

  
        ⊤
      
    {\displaystyle \top }
  
 \top

T

U+0054

&#84;

-

1

U+0031

&#49;

-

⊥

矛盾	ボトム	命題論理、ブール代数
言明「 $⊥$ 」は無条件に偽である。
$⊥ \Rightarrow A$ は常に真。

U+22A5

&#8869;

-

  
        ⊥
      
    {\displaystyle \bot }
  
 \bot

F

U+0046

&#70;

-

0

U+0030

&#48;

-

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∀

全称量化	すべての; 任意の; それぞれについて	一階述語論理
「 $\forall x : P (x)$ 」は、すべての $x$ について $P (x)$ が真であることを意味する。
$\forall n \in ℕ : n 2 \geq n$ .

U+2200

&#8704;

&forall;

  
        ∀
      
    {\displaystyle \forall }
  
 \forall

∃

存在量化	〜が存在する	一階述語論理
「 $\exists x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ が少なくとも1つは存在することを意味する。
$\exists n \in ℕ: n が偶数$ .

U+2203

&#8707;

&exist;

  
        ∃
      
    {\displaystyle \exists }
  
 \exists

∃!

唯一存在量化（英語版）	〜がただ1つ存在する	一階述語論理
「 $\exists! x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ がただ1つ存在することを意味する。
$\exists! n \in ℕ: n + 5 = 2 n$ .

U+2203 U+0021

&#8707;&#33;

-

  
        ∃
        !
      
    {\displaystyle \exists !}
  
 \exists!

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

≔

定義	〜として定義される	全分野
「 $x ≔ y$ 」や「 $x \equiv y$ 」は、 $x$ は $y$ の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する）「 $P :\Leftrightarrow Q$ 」は、 $P$ が $Q$ と論理的に等価に定義されることを意味する。
$cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (- x))$ $A XOR B :\Leftrightarrow (A \lor B) \land \neg(A \land B)$

U+2254

&#8788;

-

  
                :
              
        =
      
    {\displaystyle {{\mathrel {\mathop {:} }}\!\!}=}
  
 \coloneqq[注釈 1]

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

:⇔

U+003A U+229C

&#58;&#8860;

:&hArr;

  
        :⇔
      
    {\displaystyle :\Leftrightarrow }
  
 :\Leftrightarrow

( )

優先順位	括弧	全分野
括弧内の操作を優先して実行する。
$(8 \div 4) \div 2 = 2 \div 2 = 1$ , 一方で $8 \div (4 \div 2) = 8 \div 2 = 4$ .

U+0028 U+0029

&#40; &#41;

&exist;

  
        (
        )
      
    {\displaystyle ()}
  
 ()

⊢

ターンスタイル	〜を証明する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊢ y$ 」は $x$ から $y$ が証明させることを意味する。
$A \to B ⊢ \neg B \to \neg A$

U+22A2

&#8866;

-

  
        ⊢
      
    {\displaystyle \vdash }
  
 \vdash

⊨

ダブル・ターンスタイル（英語版）	〜を含意する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊨ y$ 」は $x$ が $y$ を含意することを意味する。
$A \to B ⊨ \neg B \to \neg A$

U+22A8

&#8872;

-

  
        ⊨
      
    {\displaystyle \vDash }
  
 \vDash

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

その他の論理記号

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

$\cdot$: オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。 $A \cdot B$ は $\neg (A & B)$ と等価。
オーバーライン: 数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば $A \lor B$ は、論理式 $A \lor B$ のゲーデル数を意味する。; またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば $A \lor B$ は、 $\neg(A \lor B)$ と等価。
U+007C | vertical line
U+2191 ↑ upwards arrow
U+22BC ⊼ nand: シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
U+2193 ↓ downwards arrow
U+22BD ⊽ nor: パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。
U+2201 ∁ complement: 集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 $A$ について、その補集合は $\complement A$ と表される。
U+2204 ∄ there does not exist: 斜線の引かれた存在量化子は、 $\neg\exists$ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
U+2234 ∴ therefore: 「故に、従って (therefore)」を意味する。
U+2235 ∵ because: 「なぜならば (because)」を意味する。
U+22A7 ⊧ models: 左辺が右辺のモデルであることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ について「 $M ⊧ T$ 」は、 $M$ が $T$ のモデルであることを意味する。^[1]
U+22A8 ⊨ true: 左辺が右辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊨ φ$ 」は、 $φ$ が $T$ の論理的帰結である、すなわち $φ$ が $T$ の定理であることを意味する。; また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「 $\emptyset ⊧ φ$ 」を「 $⊧ φ$ 」と略記する、ここで $\emptyset$ は空集合。^[1]
U+22AC ⊬ does not prove: 「証明不可能」を意味する。例えば理論 $T$ と論理式 $φ$ について「 $T ⊬ φ$ 」は、 $T$ から $φ$ が証明不可能である、すなわち $φ$ は $T$ の定理ではないことを意味する。
U+22AD ⊭ not true: U+22A8 ⊨ true の否定。
U+22C6 ⋆ star operator: アドホックな演算子について用いられる。
U+231C ⌜ top left corner
U+231D ⌝ top right corner: 角引用符 (corner quotes) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」(quasi-quotation) と呼ばれ、ゲーデル数を意味する。例えば論理式 $φ$ について「 $⌜ φ ⌝$ 」は、ゲーデル数化された $φ$ を意味する。^[2]

注釈

^ mathtools パッケージの導入が必要

出典

^ ^a ^b 新井 2011, p. 23.
^ 田中 2007, pp. 78–79.

参考文献

新井敏康『数学基礎論』岩波書店、2011年5月19日。ISBN 978-4000055369。
田中一之編『ゲーデルと20世紀の論理学 3　不完全性定理と算術の体系』東京大学出版会、2007年3月1日。ISBN 978-4130640978。

基礎的な論理記号

その他の論理記号

注釈

出典

参考文献

関連項目