ニュートン・ガウス線

幾何学において、ニュートン・ガウス線^[1]（ニュートン・ガウスせん、英: Newton–Gauss line, Gauss–Newton line）あるいは単にニュートン線^[2]は、完全四辺形（英語版）の3つの対角線の中点を結ぶ直線である。

凸四角形の2つの対角線の中点を結ぶ直線であるニュートン線とは区別される。四角形の辺を延長して、完全四辺形を作れば、四角形のニュートン線は完全四辺形のニュートン・ガウス線となる。

完全四辺形

→詳細は「完全四辺形」を参照

一般の位置（英語版）にある（どれも平行でないかつ共点でない）4つの直線は、完全四辺形（英語版）を成す。この配置（英語版）は4本の直線とその6つの交点から成る^[3]。この6点のうち任意の2点を端点とする線分が、もと4直線の交点以外で交わるように、6つの交点を3組に分割することができる。この3つの線分を完全四辺形の対角線という。

ニュートン・ガウス線の存在証明

完全四辺形の対角線の中点が共線であることはとても有名な定理である^[4]。証明方法も多く存在しており、例えば面積^[4]や楔積^[5]、ガウス・ボーデンミラーの定理^[1]を用いるものなどがある。ここでは、1920年のHillyerによるメネラウスの定理を用いた証明を紹介する^[6]。

対角線が $AA', BB', CC'$ であるような完全四辺形 $ABCA'B'C'$ について、線分 $AA', BB', CC', BC, CA', A'B$ の中点をそれぞれ $L, M, N, P, Q, R$ とする。明らかに $L, Q, R$ は共線である。同様に $M, R, P$ と $N, P, Q$ も共線であるから、三角形の相似より次の関係式が成立する。

{\frac {\overline {RL}}{\overline {LQ}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {AC}}},\quad {\frac {\overline {QN}}{\overline {NP}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {C'B}}},\quad {\frac {\overline {PM}}{\overline {MR}}}={\frac {\overline {CB'}}{\overline {B'A'}}}.

ただし、直線 $A’B'C$ と $△ ABC'$ にメネラウスの定理を用いて、3つの式の右辺の積は-1となる。したがって左辺の積は-1となるから、 $△ PQR$ にメネラウスの定理の逆を使用して、点 $L, M, N$ は共線である。

円に内接する四角形への応用

BarbuとPatrascuによる、円に内接する四角形から作られる完全四辺形のニュートン・ガウス線を用いた定理を挙げる^[7]。

等しい角

円に外接する四角形 $ABCD$ の対角線 $AC, BD$ の交点を $F$ 、対辺 $AB, CD$ の交点を $E$ 、 $EF$ の中点を $N$ 、 $BC$ の中点を $M$ とする（図1）。

定理

$BF$ の中点を $P$ とすれば、完全四辺形 $ABCDEF$ のニュートン・ガウス線と直線 $PM$ によって決定される角 $∠ PMN$ は $∠ EFD$ と等しい。

証明

三角形 $△ NPM, △ EDF$ の相似を示す。

$BE ∥ PN$ と $FC ∥ PM$ から $∠ NPM = ∠ EAC$ が分かる。また、 ${\tfrac {\overline {BE}}{\overline {PN}}}={\tfrac {\overline {FC}}{\overline {PM}}}=2$ である。

円に外接する四角形の性質より、

{\begin{aligned}\angle EDF&=\angle ADF+\angle EDA,\\&=\angle ACB+\angle ABC,\\&=\angle EAC.\end{aligned}}

したがって $∠ NPM = ∠ EDF$ 。

$R 1, R 2$ を $△ EDB, △ FCD$ の外接円の半径として、正弦定理を使用することにより、

{\frac {\overline {BE}}{\overline {FC}}}={\frac {2R_{1}\sin \angle EDB}{2R_{2}\sin \angle FDC}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {2R_{1}\sin \angle EBD}{2R_{2}\sin \angle FCD}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {DF}}}.

$BE = 2 \cdot PN$ と $FC = 2 \cdot PM$ より ${\tfrac {\overline {PN}}{\overline {PM}}}={\tfrac {\overline {DE}}{\overline {DF}}}$ 。 $△ PMN, △ DFE$ の相似から $∠ NMP = ∠ EFD$ 。

備考

$FC$ の中点を $Q$ とすれば、同様にして $∠ NMQ = ∠ EFA$ が成立する。

等角共役線

定理

完全四辺形 $ABCDEF$ のニュートン・ガウス線の $E$ を通る平行線は、 $∠ BEC$ における直線 $EF$ の等角共役線である^[7]。

証明

三角形 $△ EDF, △ NPM$ は相似であるから、 $∠ DEF = ∠ PNM$ である。完全四辺形 $ABCDEF$ のニュートン・ガウス線 $NM$ の $E$ を通る平行線と $BC$ の交点を $E'$ とする。

$PN ∥ BE$ と $NM ∥ EE'$ より、 $∠ BEF = ∠ PNF$ , $∠ FNM = ∠ E'EF$ 。

したがって、

{\begin{aligned}\angle CEE'&=\angle DEF-\angle E'EF,\\&=\angle PNM-\angle FNM,\\&=\angle PNF=\angle BEF.\end{aligned}}

ニュートン・ガウス線を共有する2つの共円四角形

補題

$G$ と $H$ を、点 $F$ のそれぞれ直線 $AB,CD$ における直交射影とする。

四角形 $MPGN$ , $MQHN$ は円に内接する^[7]。

証明

前項で示したように、 $∠ EFD = ∠ PMN$ 。点 $P$ と $N$ はそれぞれ直角三角形 $△ BFG, △ EFG$ の外心であるから $∠ PGF = ∠ PFG$ と $∠ FGN = ∠ GFN$ が成立する。

したがって、

{\begin{aligned}\angle PGN+\angle PMN&=(\angle PGF+\angle FGN)+\angle PMN\\[4pt]&=\angle PFG+\angle GFN+\angle EFD\\[4pt]&=180^{\circ }\end{aligned}}.

よって $MPGN$ は円に内接する。同様にして、 $MQHN$ も円に内接する。

定理

$GF, HF$ の延長線は、それぞれ $EC, EB$ と $I, J$ で交わるとする。

完全四辺形 $EFGHIJ$ , $ABCDEF$ のニュートン・ガウス線は一致する^[7]。

証明

2つの完全四辺形は対角線 $EF$ を共有する。 $N$ は双方のニュートン・ガウス線上に位置する。四角形 $EGFH$ が円に内接することと、その円の中心が $N$ であることより、 $N$ は $G,H$ と等距離（英語版）である。

$△ GMP, △ HMQ$ が合同ならば、 $M$ は $HG$ の垂直二等分線上に位置するから、直線 $MN$ は線分 $GH$ の中点を含むみ、完全四辺形 $EFGHIJ$ のニュートン・ガウス線となる。

$△ GMP, △ HMQ$ の合同を示す。 $BF, BC$ の中点が $M, P$ であることより、 $PMQF$ は平行四辺形である。

したがって

{\begin{aligned}&{\overline {MP}}={\overline {QF}}={\overline {HQ}},\\&{\overline {GP}}={\overline {PF}}={\overline {MQ}},\\&\angle MPF=\angle FQM.\end{aligned}}

更に、

\angle FPG=2\angle PBG=2\angle DBA=2\angle DCA=2\angle HCF=\angle HQF.

よって、

{\begin{aligned}\angle MPG&=\angle MPF+\angle FPG,\\&=\angle FQM+\angle HQF,\\&=\angle HQF+\angle FQM,\\&=\angle HQM.\end{aligned}}

したがって、二辺夾角相等より $△ GMP$ は $△ HMQ$ は合同。

備考

$△ GMP, △ HMQ$ が合同であることから、 $MPGN, MQHN$ の外接円も合同である。

他の性質

ニュートン・ガウス線の無限遠点の等角共役点は、完全四辺形のミケル点である。さらに、そのシムソン線は、ニュートン・ガウス線と直交する^[8]。
5つの線から成る5つの完全四辺形のニュートン・ガウス線は共点である^[2]。

歴史

ニュートン・ガウス線はアイザック・ニュートンとカール・フリードリヒ・ガウスの名を冠する^[要出典]。この定理の最初の枠組みはニュートン線における定理、ニュートンの定理であり、ニュートンは四角形に内接する円錐曲線の中心はニュートン・ガウス線上にあることを示した^[9]。

ガウスとボーデンミラー（Bodenmiller）は、完全四辺形の対角線を直径とする3つの円は共軸であることを示した（ガウス・ボーデンミラーの定理）^[10]。

出典

^ ^a ^b Evan Chen 著、兒玉太陽, 熊谷勇輝, 宿田彩人, 平山楓馬訳『数学オリンピック幾何への挑戦ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年3月10日、274頁。ISBN 9784535789784。
^ ^a ^b 窪田忠彦『幾何学の基礎第3版 (岩波全書 ; 第104)』岩波書店、1946年、102頁。doi:10.11501/1211294。
^ Alperin, Roger C. (6 January 2012). “Gauss–Newton Lines and Eleven Point Conics”. Research Gate. 2024年11月16日閲覧。
^ ^a ^b Johnson 2007, p. 62
^ Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry A Comprehensive Course, Dover, pp. 46–47, ISBN 0-486-65812-0
^ Johnson 2007, p. 152
^ ^a ^b ^c ^d Patrascu. “Some Properties of the Newton–Gauss Line”. Forum Geometricorum. 29 March 2023時点のオリジナルよりアーカイブ。29 April 2019閲覧。
^ 森本清吾『初等幾何学』朝倉書店、1953年、50,76頁。NDLJP:1372292。
^ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin Books, p. 36, ISBN 978-0-14-011813-1
^ Johnson 2007, p. 172

参考文献

JohnsonRoger A.『Advanced Euclidean Geometry』Dover、2007年（原著1929年）。ISBN 978-0-486-46237-0。
- (オンライン版) Johnson (1929年). “Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle”. HathiTrust. 28 May 2019閲覧。"Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle". HathiTrust. Retrieved 28 May 2019.
Dorin Andrica; C. Turcas, George (2021). “The converse of the Newton-Gauss theorem”. INTERNATIONAL JOURNAL OF GEOMETRY.

外部リンク

Bogomonly. “Theorem of Complete Quadrilateral: What is it?”. 11 May 2019閲覧。
“QL-L1: The Newton Line”. EQF. 2024年11月16日閲覧。
“Gauss line”. AoPS. 2024年11月16日閲覧。
“Newton-Gauss line”. PlanetMath. 2024年11月16日閲覧。

[:0-1] Evan Chen 著、兒玉太陽, 熊谷勇輝, 宿田彩人, 平山楓馬訳『数学オリンピック幾何への挑戦ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年3月10日、274頁。ISBN 9784535789784。

[:1-2] 窪田忠彦『幾何学の基礎第3版 (岩波全書 ; 第104)』岩波書店、1946年、102頁。doi:10.11501/1211294。

[3] Alperin, Roger C. (6 January 2012). “Gauss–Newton Lines and Eleven Point Conics”. Research Gate. 2024年11月16日閲覧。

[Johson62-4] Johnson 2007, p. 62

[5] Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry A Comprehensive Course, Dover, pp. 46–47, ISBN 0-486-65812-0

[6] Johnson 2007, p. 152

[:2-7] Patrascu. “Some Properties of the Newton–Gauss Line”. Forum Geometricorum. 29 March 2023時点のオリジナルよりアーカイブ。29 April 2019閲覧。

[:mori-8] 森本清吾『初等幾何学』朝倉書店、1953年、50,76頁。NDLJP:1372292。

[9] Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin Books, p. 36, ISBN 978-0-14-011813-1

[10] Johnson 2007, p. 172

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