切り捨て可能素数

左切り捨て可能素数^[1]（ひだりきりすてかのうそすう、英: left-truncatable prime）あるいは単に切り捨て可能素数とは、それ自身が素数であるとともに、左から数字を順に取り除いたものが全て素数であり、さらにどの桁も 0 ではないものをいう。同様に、右切り捨て可能素数も定義できる。「素な素数」とも称される^[2]。

左切り捨て可能素数

例えば 4632647 は、それ自身が素数であって、左から順に数字を切り捨てた数 632647, 32647, 2647, 647, 47, 7 が全て素数であり、どの桁も 0 ではないので、左切り捨て可能素数である。0 を含まないという条件は、10⁶⁰+7 のようなつまらない例（切り捨てた数が全て 7 となってしまう）を排除するためである^[3]。

左切り捨て可能素数を小さい順に列挙すると

2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313, …（オンライン整数列大辞典の数列 A024785）

となる。左切り捨て可能素数は有限個しか存在しない。実際、1桁のものは 2, 3, 5, 7 しかなく、2桁のものはこれらの左に数字を付け足したもののみが候補なので、計算機を利用すれば容易に桁数の小さい方から列挙することができ、最大のものは24桁の数

357686312646216567629137

であることが分かる。桁ごとの左切り捨て可能素数の個数は

4, 11, 39, 99, 192, 326, 429, 521, 545, 517, 448, 354, 276, 212, 117, 72, 42, 24, 13, 6, 5, 4, 3, 1（A050987）

であり、合計で4260個である。

右切り捨て可能素数

右切り捨て可能素数を小さい順に列挙すると

2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, …（A024770）

であり、最大のものは8桁の数 73939133 である。この数自身および右から順に数字を切り捨てた数 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7 は、確かに全て素数である。桁ごとの右切り捨て可能素数の個数は

4, 9, 14, 16, 15, 12, 8, 5（A050986）

であり、合計で83個である。

左切り捨て可能素数かつ右切り捨て可能素数であるものは、

2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3137, 3797, 739397（A020994）

の15個のみである。

他の記数法

以上は通常の十進法での話であるが、10以外の任意の底における位取り記数法で全く同じことが考えられる。例えば、四進法における最大の左切り捨て可能素数は 333323（十進法で 4091）であり、それ自身および切り捨てた数 33323, 3323, 323, 23, 3（十進法で 1019, 251, 59, 11, 3）は確かに全て素数である。n = 2, …, 29 に対するn進法における左切り捨て可能素数の個数は

0, 3, 16, 15, 454, 22, 446, 108, 4260, 75, 170053, 100, 34393, 9357, 27982, 362, 14979714, 685, 3062899, 59131, 1599447, 1372, 1052029701, 10484, 7028048, 98336, 69058060, 3926（A076623）

であり、その最大のものの（各々の記数法における）桁数は

0, 3, 6, 6, 17, 7, 15, 10, 24, 9, 32, 8, 26, 22, 25, 11, 43, 14, 37, 27, 37, 17, 53, 20, 39, 28, 46, 19（A103463）

である（初項の0は存在しないことを意味する）。三十進法における最大の左切り捨て可能素数はどうやら巨大になるらしく、この次の項は知られていない。

脚注

^ 『プライムナンバーズ』における訳。他に『素数大百科』では「左切詰め素数」。
^ なんと、端から数字を落としていっても「やっぱり素数」になった…学校では学べない「数学センス」は「身近な例から一般化するクセ」だった（花木良） | ブルーバックス | 講談社（1/2）
^ left-truncatable prime, Prime Pages

参考文献

David Wells 著、伊知地宏監訳、さかいなおみ訳『プライムナンバーズ』オライリー・ジャパン、2008年 ISBN 978-4873113807
Chris K. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』共立出版、2004年 ISBN 978-4320017597

外部リンク

Chris Caldwell, left-truncatable prime, right-truncatable primes, Prime Pages
Weisstein, Eric W. "Truncatable Prime". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] 『プライムナンバーズ』における訳。他に『素数大百科』では「左切詰め素数」。

[2] なんと、端から数字を落としていっても「やっぱり素数」になった…学校では学べない「数学センス」は「身近な例から一般化するクセ」だった（花木良） | ブルーバックス | 講談社（1/2）

[3] t-truncatable prime, Prime Pages

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧