サービト数

サービト数（サービトすう、英:Thabit number）とは、 $3\cdot 2^{n}-1$ （nは自然数）の形の自然数のことである。第1種サービト数とも呼ばれる。

サービト数は小さい順に、

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A055010)

である。

9世紀の数学者、医者、天文学者、翻訳家である、サービトはサービト数と友愛数がどのように関係しているかを最初に研究した人物として知られている^[1]。

性質

サービト数（ $3\cdot 2^{n}-1$ ）を2進数で表すと $n+2$ 桁の長さになり、10と $n$ 個の1で構成される。

サービト数のうち、素数であるものはサービト素数と呼ばれる。サービト素数は小さい順に、

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A007505)

である。

2023年10月現在、サービト数のうち、素数であるものは68個知られている。その数の $n$ は小さい順に^[2]^[3]^[4]、

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, 16819291, 17748034, 18196595, 18924988, 20928756, 22103376, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A002235)

である。

234760 ≤ n ≤ 3136255 の範囲にあるサービト素数は分散コンピューティングプロジェクトである「321 search」によって見つかった^[5]。

2008年、PrimeGridはサービト素数の探索を引き継いだ^[6]。このプロジェクトは現在も探索を続けていて、n ≥ 4235414のすべての既知のサービト素数をすでに発見した^[7]。また、 $3\cdot 2^{n}+1$ の形の素数の探索も行っている。この形の素数は「第2種サービト素数」と呼ばれる。

第2種サービト数は小さい順に、

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A181565)

である。

また、第2種サービト素数は小さい順に、

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A039687)

第2種サービト素数に対応する $n$ は小さい順に、

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, 16408818, ... オンライン整数列大辞典の数列 A002253

である。

友愛数との関係

$n$ と $n-1$ の両方が第1種サービト素数であり、さらに $9\cdot 2^{2n-1}-1$ も素数である場合、次のように友愛数のペアを計算することができる。

2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)

と

2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).

これらの条件を満たす $n$ の値は2,4,7であり、それぞれに対応するサービト素数は、 $n$ のときに、11,47,383、 $n-1$ のときに5,23,191になり、3番目の数は71,1151,73727になる。(対応する友愛数のペアは(220, 284), (17296, 18416),(9363584, 9437056)。)

一般化

整数 $b\geq 2$ に対して、サービト数は次のようになる。

$(b+1)\cdot b^{n}-1$ （nは自然数）

また、整数 $b\geq 2$ に対して第2種サービト数は次のようになる。

$(b+1)\cdot b^{n}+1$ （nは自然数）

出典

^ Rashed, Roshdi (1994). The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra.. 156. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6
^ “How many digits these primes have”. 2011年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月14日閲覧。
^ “Primes with 800,000 or More Digits”. June 22, 2024閲覧。
^ “PrimeGrid Primes search for 3*2^n - 1”. www.primegrid.com. 2024年12月31日閲覧。
^ “The status of the search”. 2011年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月14日閲覧。
^ “PrimePage Bios: 321search”. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
^ “Primes with 800,000 or More Digits”. June 22, 2024閲覧。

[Rashed-1] Rashed, Roshdi (1994). The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra.. 156. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers. p. 277. ISBN 0-7923-2565-6

[2] “How many digits these primes have”. 2011年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月14日閲覧。

[utm2-3] “Primes with 800,000 or More Digits”. June 22, 2024閲覧。

[4] “PrimeGrid Primes search for 3*2^n - 1”. www.primegrid.com. 2024年12月31日閲覧。

[5] “The status of the search”. 2011年9月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年11月14日閲覧。

[6] “PrimePage Bios: 321search”. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。

[utm3-7] “Primes with 800,000 or More Digits”. June 22, 2024閲覧。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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