直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を M^T と表すときに、 M^TM = M M^T = E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、 v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w) が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。

定義

n 次正方行列 M の 転置行列 M^T が Mの逆行列になっているとき、すなわち M^T = M^-1 を満たすとき、M は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = v^Tw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は

$(Mv,Mw)=(Mv)^{T}Mw=v^{T}M^{T}Mw=v^{T}w=(v,w)$

となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。n 次直交行列全体の集合を n 次直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。

例

回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

反射行列

単位ベクトル u に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列）H は、以下の式で与えられ、直交行列となる（I は単位行列）。

$H=I-2uu^{\top }$

性質

• 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から

$\det(A)^{2}=\det(A)\det(A^{\intercal })=\det(AA^{\intercal })=\det(E)=1$

となる。逆は必ずしも真ではない。

• ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
• n 次行列 A を n 個の列ベクトル（行ベクトル）$v_{1},v_{2},...,v_{n}$ を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AA^T=E は $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ が正規直交基底になる条件と同値である。
• n 次の直交行列 A 、n 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。したがって A の対応する作用素ノルムは ‖ A ‖ = 1 である。

参考文献

• 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学 1〉、1982年（原著1966年）。ISBN 978-4-13-062001-7。 
• 佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書 1〉、1974年。ISBN 978-4-7853-1301-2。 
  • 佐武一郎『線型代数学』（新装版）裳華房〈数学選書 1〉、2015年。ISBN 978-4-7853-1316-6。 
• Strang, Gilbert (2007), Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-1-7 
  • ギルバート・ストラング『ストラング：計算理工学』今井桂子・岡本久 監訳幹事、近代科学社〈世界標準MIT教科書〉、2017年。ISBN 978-4-7649-0423-1。https://books.google.co.jp/books?id=OgCoDwAAQBAJ。 
• Weyl, Hermann (1966). The Classical Groups: Their Invariants and Representations. Princeton University Press. ISBN 0-691-07923-4. https://books.google.co.jp/books?id=2twDDAAAQBAJ 

関連項目

• 回転行列: 直交行列
• カルタン・デュドネの定理: 直交変換は超平面による鏡映の合成である
• 置換行列: 直交行列
• 特異値分解: あらゆる行列を直交行列と特異値による対角行列へ分解 A = UΣV^T
• ユニタリ行列: エルミート内積に関して上と類似の性質を持つ行列
• QR分解: 正方行列から直交行列を作る手法

外部リンク

• 『直交行列』 - コトバンク
• 『直交行列の５つの定義と性質の証明』 - 高校数学の美しい物語
• Rowland, Todd and Weisstein, Eric W. "Orthogonal Matrix". mathworld.wolfram.com (英語).

動画

• 【線形代数#33】対称行列・直交行列 - YouTube
• 【線形代数#34】対称行列の直交行列による対角化 - YouTube
• 【線形代数#63】対称行列の対角化 - YouTube