数学 において、行列の対数 （ぎょうれつのたいすう、英語 : Logarithm of a matrix ）とは、行列の指数関数 を施したとき与えられた行列と一致するようなもう一つの行列をいう。つまり行列の対数函数は、スカラー変数スカラー値の対数函数 の一般化であり、また行列の指数関数 のある意味での逆関数 を与えるものとなる。必ずしも全ての行列がその対数を持つわけではなく、また対数を持つ場合であっても複数の行列を対数として持ち得る。対数を持つ行列は何らかのリー群 に属し、かつ、その対数はそのリー群に付随するリー代数 の元に対応するため、行列の対数函数の研究はリー理論 （英語版 ）
与えられた正方行列 A に対して、e B A B を、A の（行列の）対数と呼び B = log(A )ln(A ) などで表す。複素数の場合と同様、行列の対数はしばしば一意ではない（後述）。
なお、正方行列を変数とする指数関数は、正方行列 B に対して
e
B
=
exp
(
B
)
:=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
{\displaystyle e^{B}=\exp(B):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B^{n}}{n!}}}
で定義される。
正方行列 A に対して、
B
=
log
(
c
)
I
−
∑
k
=
1
∞
1
k
(
I
−
1
c
A
)
k
{\displaystyle B=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}}
c
{\displaystyle c}
B
=
log
(
A
)
{\displaystyle B=\log(A)}
複素関数
log
(
z
)
{\displaystyle \log(z)}
z
=
c
{\displaystyle z=c}
テイラー展開 は、
log
(
z
)
=
log
(
c
)
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
c
k
(
z
−
c
)
k
=
log
(
c
)
−
∑
k
=
1
∞
1
k
(
1
−
z
c
)
k
{\displaystyle \log(z)=\log(c)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kc^{k}}}(z-c)^{k}=\log(c)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(1-{\frac {z}{c}}\right)^{k}}
c
{\displaystyle c}
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle Re(z)>0}
c
{\displaystyle c}
これを行列に当てはめれば、
正方行列A のすべての固有値(特性根)の実数部分が正であれば、適当な正の実数
c
{\displaystyle c}
B
=
log
(
c
)
I
−
∑
k
=
1
∞
1
k
(
I
−
1
c
A
)
k
{\displaystyle B=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}}
B
=
log
(
A
)
{\displaystyle B=\log(A)}
簡単な例が、平面上の回転によって与えられる。原点を中心とする角度 α の回転は 2× 2
A
=
[
cos
(
α
)
−
sin
(
α
)
sin
(
α
)
cos
(
α
)
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{bmatrix}}}
で表わされる。任意の整数 n に対して、行列
B
n
=
(
α
+
2
π
n
)
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
は A の対数である。したがって、A は無限個の対数を持つ。このことは、回転角が 2π の整数倍の違いを除いて しか決めることができないという事実に対応するものである。
リー理論の用語を用いれば、回転行列 A はリー群 SO (2)B は（歪対称行列 全体の成す）リー代数 𝖘𝖔 (2)
[
0
1
−
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
はリー代数 𝖘𝖔 (2)
「与えられた行列に対数が存在するか否か」という問題は、複素係数の範囲で考えるときに最も単純な答を持つ。この場合、与えられた行列が対数を持つための必要十分条件 は、それが可逆 であることである[ 1] ジョルダン標準形 で考えれば、任意の
A
=
P
J
P
−
1
{\displaystyle A=PJP^{-1}}
exp
(
P
X
P
−
1
)
=
∑
n
=
0
∞
(
P
X
P
−
1
)
n
n
!
=
P
∑
n
=
0
∞
X
n
n
!
P
−
1
=
P
exp
(
X
)
P
−
1
{\displaystyle \exp(PXP^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(PXP^{-1})^{n}}{n!}}=P\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}P^{-1}=P\exp(X)P^{-1}}
J
=
exp
(
X
)
{\displaystyle J=\exp(X)}
X
{\displaystyle X}
A
=
exp
(
P
X
P
−
1
)
{\displaystyle A=\exp(PXP^{-1})}
A
{\displaystyle A}
A
=
exp
(
Y
)
{\displaystyle A=\exp(Y)}
Y
{\displaystyle Y}
J
=
P
−
1
A
P
=
exp
(
P
−
1
Y
P
)
{\displaystyle J=P^{-1}AP=\exp(P^{-1}YP)}
J
{\displaystyle J}
A
{\displaystyle A}
J
{\displaystyle J}
A
{\displaystyle A}
可逆 であることが必要十分と言える。
対数を持つ場合においても対数が一意とは限らないが、その行列が負の実固有値を持たないならば、そのすべての固有値が帯状領域 {z ∈ C | −π < ℑ z < π } に載っているような対数はただ一つ定まり、主値あるいは「主対数 (principal logarithm)」と呼ばれる[ 2]
実係数の範囲内で考えるならば答はより込み入ってくる。実行列が実行列を対数に持つための必要十分条件は、それが可逆かつ負の固有値に属する各ジョルダン細胞が偶数回あらわれることである[ 3] −1 の（複素）対数は実数でない複素数である。2× 2 後述 する。
A および B がともに正定値行列 ならば
tr
ln
(
A
B
)
=
tr
ln
(
A
)
+
tr
ln
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {tr} {\ln {(AB)}}=\operatorname {tr} {\ln {(A)}}+\operatorname {tr} {\ln {(B)}}}
が成り立つ。A と B とが可換（AB = BA
ln
(
A
B
)
=
ln
(
A
)
+
ln
(
B
)
{\displaystyle \ln {(AB)}=\ln {(A)}+\ln {(B)}}
が成り立つ。ここで B = A −1
ln
(
A
−
1
)
=
−
ln
(
A
)
{\displaystyle \ln {(A^{-1})}=-\ln {(A)}}
が得られる。
[ 編集 ] ℝ³ における回転 R ∈ SO (3)3× 3 直交行列 によって与えられる。
そのような回転行列 R の対数はロドリゲスの回転公式 の反対称成分から直ちに計算できる[ 4] 軸–角度表現 （英語版 ） フロベニウスノルム を最小とする対数が得られるが、R が固有値 −1 を持つとき、そのようなものは一意でないためうまくいかない。
さらなる注意として、回転行列 A, B に対して、
d
g
(
A
,
B
)
:=
‖
log
(
A
⊤
B
)
‖
F
{\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}
は回転行列全体の成す三次元多様体上の測地的距離である。
対角化可能行列 A に対する ln A の求め方は以下のようにする。
行列 A の固有ベクトル からなる行列 V を求める（各列が A の固有ベクトル）。
V の逆行列 V −1 このとき
A
′
=
V
−
1
A
V
{\displaystyle A'=V^{-1}AV}
と置けば A' は A の固有値が対角成分に並んだ対角行列となる。
ln(A' ) を得るためには、A' の対角成分をそれぞれの自然対数 で置き換えればよい。これにより
ln
A
=
V
(
ln
A
′
)
V
−
1
{\displaystyle \ln A=V(\ln A')V^{-1}}
を得る。
このような A の対数が（A が実行列の場合でさえ）複素行列となりうることは、各成分が実かつ正の行列が（にも拘らず）負のあるいはさらに複素数の固有値を持ち得る（それは回転行列の例においても言えることである）という事実から従う。この種の行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから生じてくる。
ジョルダン細胞
J
n
(
λ
)
{\displaystyle J_{n}(\lambda )}
j
<
i
{\displaystyle j<i}
(
J
n
(
λ
)
)
i
j
=
0
{\displaystyle (J_{n}(\lambda ))_{ij}=0}
(
J
n
(
λ
)
)
i
i
=
λ
{\displaystyle (J_{n}(\lambda ))_{ii}=\lambda }
(
J
n
(
λ
)
)
i
i
+
1
=
1
{\displaystyle (J_{n}(\lambda ))_{ii+1}=1}
j
>
i
+
1
{\displaystyle j>i+1}
(
J
n
(
λ
)
)
i
j
=
0
{\displaystyle (J_{n}(\lambda ))_{ij}=0}
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
J
n
(
λ
)
{\displaystyle J_{n}(\lambda )}
log
(
J
n
(
λ
)
)
{\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))}
j
<
i
{\displaystyle j<i}
(
log
(
J
n
(
λ
)
)
)
i
j
=
0
{\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ij}=0}
(
log
(
J
n
(
λ
)
)
)
i
i
=
log
(
λ
)
{\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ii}=\log(\lambda )}
j
>
i
{\displaystyle j>i}
(
log
(
J
n
(
λ
)
)
)
i
j
=
(
−
1
)
j
−
i
−
1
(
j
−
i
−
1
)
!
λ
−
j
+
i
{\displaystyle (\log(J_{n}(\lambda )))_{ij}=(-1)^{j-i-1}(j-i-1)!\lambda ^{-j+i}}
である。
このことは、次のことからわかる。
j
>
i
{\displaystyle j>i}
i
j
{\displaystyle ij}
λ
{\displaystyle \lambda }
i
i
{\displaystyle ii}
j
−
i
{\displaystyle j-i}
J
n
(
λ
)
k
{\displaystyle J_{n}(\lambda )^{k}}
log
(
J
n
(
λ
)
)
=
log
(
c
)
I
−
∑
k
=
1
∞
1
k
(
I
−
1
c
J
n
(
λ
)
)
k
{\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}J_{n}(\lambda )\right)^{k}}
log
(
J
n
(
λ
)
)
{\displaystyle \log(J_{n}(\lambda ))}
log
(
λ
)
{\displaystyle \log(\lambda )}
上述のアルゴリズムは
[
1
1
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}
ような対角化不可能な行列については適用できない。このような行列に対しては、そのジョルダン分解 を計算する必要があり、また上述のような対角成分の対数ではなく、ジョルダン細胞 （英語版 ）
後者の作業については、ジョルダン細胞が
B
=
[
λ
1
0
0
⋯
0
0
λ
1
0
⋯
0
0
0
λ
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
0
λ
1
0
0
0
0
0
λ
]
=
λ
[
1
λ
−
1
0
0
⋯
0
0
1
λ
−
1
0
⋯
0
0
0
1
λ
−
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
0
1
λ
−
1
0
0
0
0
0
1
]
=
λ
(
I
+
K
)
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}=\lambda (I+K)}
のような形に書き表せることに注意することで達成される。ここで、K は主対角成分およびその下がすべて 0 であるような行列である（数 λ が零でないことは、対数が取れるために行列は可逆とする仮定による）。
このとき、メルカトル級数
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
を用いれば
ln
B
=
ln
(
λ
(
I
+
K
)
)
=
ln
(
λ
I
)
+
ln
(
I
+
K
)
=
(
ln
λ
)
I
+
K
−
K
2
2
+
K
3
3
−
K
4
4
+
⋯
{\displaystyle \ln B=\ln(\lambda (I+K))=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }
を得る。一般には、この級数 は任意の行列 K に対して収束するわけではない（絶対値が 1 より大きい任意の実数に対して収束しないのと同様）が、今の場合に限っては K は冪零行列 であるから、実際には有限項しかない（K の次元が m なら Km は零行列である）。
このやり方で、例えば
ln
[
1
1
0
1
]
=
[
0
1
0
0
]
{\displaystyle \ln \!{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}
を得る。
正方行列はユークリッド空間 R n n は行列の次元）上の線形作用素 を表現する。そのような空間は有限次元であるから、この作用素は実際に有界 である。
正則汎函数計算 （英語版 ） 正則関数 f (z )T に対し、f (z )T のスペクトル 上で定義される限りにおいて、f (T )
関数 f (z ) = ln z 単連結 開集合上で定義することができて、かつそのような領域上で正則である。このことは T のスペクトルが原点を含まず、原点から無限遠点へ向かう T のスペクトルを横切らない径路が存在するならば ln T が定義できることを示している（例えば、T のスペクトルがその内側に原点がくるような円ならば、ln T は定義できない）。
ユークリッド空間の場合に立ち戻ると、この空間上の線形作用素のスペクトルはその表現行列の固有値全体の成す集合であり、それは有限集合である。そのスペクトルに原点が含まれない（行列が可逆）である限りにおいて、前段落で述べた径路に関する条件などは明らかに満たされるので、その論法により ln T が定義可能 である。この種の行列の対数が一意でないことは、行列の固有値集合上で定義される対数函数の分枝が複数選びうるという事実から生じる。
リー群 論において、リー代数 𝔤 リー群 G への指数写像
exp
:
g
→
G
{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}
が存在する。行列リー群に対して、𝔤 G の元は正方行列であり、指数写像は行列の指数関数 で与えられる。その逆写像 log := exp−1 は多価であり、本項で扱う行列の対数と一致する。対数写像はリー群 G を付随するリー代数 𝔤 0 ∈ 𝔤 U と単位行列 1 ∈ G V の間の局所微分同相写像であることに注意する[ 5]
log
:
V
(
⊂
G
)
→
U
(
⊂
g
)
{\displaystyle \log \colon V_{(\subset G)}\to U_{(\subset {\mathfrak {g}})}}
なる写像として矛盾なく定義される。このとき、ヤコビの公式 の重要な系として
log
(
det
(
A
)
)
=
tr
(
log
A
)
{\displaystyle \log(\det(A))=\operatorname {tr} (\log A)}
が成り立つ。
2× 2 実行列行列式 を持つとき、その実対数は存在しない。まず初めに、任意の 2× 2 複素数 z = x + y εε² ∈ {−1, 0, +1} ）のいずれか一種類と見なすことができて、そのときの z は2× 2 環 の部分複素数平面上の点になっていることに注意する。
行列式が負であるような場合は ε² = +1 の場合、すなわち分解型複素数 平面上にしか存在しない。この平面のうちの1/4のみが指数写像の像であって、この部分（四分象限）においてのみ対数写像が定義できる。三つある他の象限は ε と −1 が生成するクラインの四元群 の作用による一つ目の象限の像になる。
たとえば、a = ln 2cosh a = 5/4 および sinh a = 3/4 ）とすれば、行列の形で
A
=
exp
[
0
a
a
0
]
=
[
cosh
a
sinh
a
sinh
a
cosh
a
]
=
[
1.25
.75
.75
1.25
]
{\displaystyle A=\exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{bmatrix}}}
と書くことができるから、この行列は
ln
A
=
[
0
ln
2
ln
2
0
]
{\displaystyle \ln A={\begin{bmatrix}0&\ln 2\\\ln 2&0\end{bmatrix}}}
を対数に持つ。しかし、以下の行列
[
3
/
4
5
/
4
5
/
4
3
/
4
]
,
[
−
3
/
4
−
5
/
4
−
5
/
4
−
3
/
4
]
,
[
−
5
/
4
−
3
/
4
−
3
/
4
−
5
/
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{bmatrix}}}
は対数を持たない。これらは、上述の四元群の作用の下で対数を持つ上記の行列 A の共軛として得られるほかの三つを表している。
正則な 2× 2
また以下のようなことも従う。たとえば、上述の行列 A の平方根 （英語版 ） (ln A )/2 を代入することにより、直接的に
A
=
[
cosh
(
(
ln
2
)
/
2
)
sinh
(
(
ln
2
)
/
2
)
sinh
(
(
ln
2
)
/
2
)
cosh
(
(
ln
2
)
/
2
)
]
=
[
1.06
.35
.35
1.06
]
{\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{bmatrix}\cosh((\ln 2)/2)&\sinh((\ln 2)/2)\\\sinh((\ln 2)/2)&\cosh((\ln 2)/2)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{bmatrix}}}
と計算することができる。
より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組 （英語版 ） (p , q , r ) をとって a = ln(p + r ) − ln q
e
a
=
p
+
r
q
=
cosh
a
+
sinh
a
{\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}
が成り立つ。するといま
exp
[
0
a
a
0
]
=
[
r
/
q
p
/
q
p
/
q
r
/
q
]
{\displaystyle \exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{bmatrix}}}
となるから
1
q
[
r
p
p
r
]
{\displaystyle {\frac {1}{q}}{\begin{bmatrix}r&p\\p&r\end{bmatrix}}}
は行列
[
0
a
a
0
]
(
a
=
ln
(
p
+
r
)
−
ln
q
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}\quad (a=\ln(p+r)-\ln q)}
を対数に持つ。
^ Higham (2008) , Theorem 1.27^ Higham (2008) , Theorem 1.31^ Culver (1966) ^ Engø (2001)
^ Hall 2015 Theorem 3.42
Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices , 1 , New York: Chelsea, pp. 239–241 Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-40122-9 Culver, Walter J. (1966), “On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix”, Proceedings of the American Mathematical Society 17 (5): 1146–1151, doi :10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 , ISSN 0002-9939 Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7 Engø, Kenth (June 2001), “On the BCH-formula in so (3)” , BIT Numerical Mathematics 41 (3): 629–632, doi :10.1023/A:1021979515229 , ISSN 0006-3835 , http://www.ii.uib.no/publikasjoner/texrap/abstract/2000-201.html 
