円周率の歴史

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本記事は、円周率の歴史（えんしゅうりつのれきし）について詳述する。

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円周率 π は無理数なので小数で表現すると無限に長い数値になる。また、連分数で表現すると無限に長い連分数になる。その近似値は何千年にも渡り、世界中で計算されてきた。

ほとんどの目的には近似値 3.14 を使うことが多く、これで十分である。技術系では 3.1416 や 3.14159 などを使用することが多い。天気予報や人工衛星などの計算では 30 桁程度の値を使用している。355⁄113 = 3.14159292... などは覚えやすく近似精度が高い分数である。

凡例

• [発] : 数学的事実に関する発見・論争等
• [法] : 計算法の考案・改良等
• [値] : 計算・値の使用
• [値](桁数) : 計算・値の使用 (小数点以下の桁数の記録)
• [文] : 文化・社会

国旗アイコンで国を表した。現在と国や国境が異なる歴史時代についても現在の（およその）国を示した。

年表

正多角形による評価の時代

紀元前2000年ごろ

[値](2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3, 3+1⁄7 ≒ 3.142857 , 3+1⁄8 = 3.125 などが使われたと考えられている。

紀元前1650年ごろ

[学][値] 古代エジプトでは円周と直径の比から得られる値と、円の面積と半径の平方の比から得られる値が同じであることは知られていた。神官アハメスが書き残したリンド・パピルスには円積問題の古典的な解法の一つが記されており円の直径からその1⁄9を引いた長さを一辺とする正方形の面積と、元の円の面積が等しいとしている。この計算から円周率を計算すると、256⁄81 ≒ 3.1605 が円周率の近似値として得られる。かなり精度が高かったものの普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年ごろにまで遡ると考えられている。

紀元前5世紀ごろ

[学] アナクサゴラスが、アポロンへの不敬罪で投獄されている間に、円積問題に取り組んだ。

[法] ヘラクレアのアンティフォン (Antiphon) は円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した。

[値] すぐに同じヘラクレアのブリソン (Bryson) が、外接する正多角形の面積をも求めて内側と外側の両方から円の面積を評価し近似値を得た。

紀元前3世紀

[法][値] アルキメデスは円周と直径の比と、円の面積と半径の平方の比が同じであることを証明した。さらに円に外接、内接するそれぞれの正 3×2ⁿ 角形の辺の長さを p_n, q_n としたとき、漸化式

${2 \over p_{n+1}}={1 \over p_{n}}+{1 \over q_{n}}$

$q_{n+1}^{2}=p_{n+1}q_{n}$

が成り立つことを示し、n = 1 から n = 5 まで計算することにより223⁄71 < π < 22⁄7を求めた。小数だと 3.14084 < π < 3.14286 になる。

1世紀

[値] ローマ帝国の著名な建築家ウィトルウィウスは、25⁄8を使った。8 で割ったほうが建築には便利だったためである。小数だと 3.125 になる。

2世紀

[値] 天文学者プトレマイオスは377⁄120を使った。小数だと約 3.1417 である。

[値] 後漢の太史令だった張衡は、円に外接する正方形の周と円周を比べ、円周率を√10とした。約 3.162 になる。

3世紀

[値] 呉の王蕃は142⁄45を用いた。約3.1555である。

263年

[値](3) 魏の劉徽は『九章算術』の注釈のなかで、ブリソンと同様の方法を用い 3.14+64⁄62500 < π < 3.14+169⁄62500であることを示している。小数では 3.141024 < π < 3.142704 となる。さらに正3072角形を用いて、3.14159という近似値も得た。

5世紀

[値](6) 7世紀に編纂された隋書律暦志（外部リンク）によると、天文学者の祖沖之（そちゅうし）は、当時としては非常に正確な評価 3.1415926 < π < 3.1415927 を示した。ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには、16世紀まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 22⁄7（約3.143）と 355⁄113（約3.1415929）を与えている。正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正24576角形の辺の長さを計算しなければならない。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の祖暅（そこう）は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる。

500年頃

[値] インドのアリヤバータは、円に内接する正 n 角形と正 2n 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正384角形の周の長さから√9.8684（≒3.14156）と求めた。この平方根の近似値として3927⁄1250（=3.1416）を与えた。

650年頃

[値] インドのブラーマグプタは、正12角形、正24角形、正48角形、正96角形の周の長さから、n が大きくなるにつれ正2ⁿ×3角形の周の長さは√10に近づくとし、これを円周率とした。

1220年

[値] イタリアのフィボナッチが円周率を864⁄275と計算した。これは、約 3.1418 である。

1400年頃

[法] インドのマーダヴァが無限級数

${\pi \over 4}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots$

を得る。これはのちにライプニッツの公式と呼ばれるようになった。

1579年

[値](9) フランソワ・ビエタが円に内接・外接する正393216角形の周の長さから 3.1415926535 < π < 3.1415926537 という評価をした。ビエタはさらに、無限乗積

$x_{1}={\sqrt {1 \over 2}},\ x_{n+1}={\sqrt {{1+x_{n}} \over 2}}$

${2 \over \pi }=\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}$

を示し π の計算を試みた。

1585年

[値] オランダのアドリアン・アンソニスゾーンが 333⁄106 < π < 377⁄120 と評価し、両端の平均に近い値として 355⁄113 を得た。これは、約 3.14159292 である。

1596–1610年

[値](35) ドイツの数学者ルドルフ・ファン・コイレンは、正4611686018427387904 (=2⁶²) 角形の辺の長さを計算し、35桁目まで π の正しい値を計算した。この計算はコイレンの生涯をかけた計算であり、コイレン自身これを大変誇りとし、墓標にこの値を刻ませた。墓標はその後失われ、碑銘のみが伝わっている。ドイツでは彼の名にちなんで円周率をルドルフ数 (Ludolphsche Zahl) と呼ぶことがある。

コイレンの時代までで、正多角形の辺を増やすだけの力ずくの計算の時代は終わり、評価式の本質的な改良が行われるようになっていく。17世紀は多くの評価式が生まれ、コイレンの生涯をかけた 35桁までの計算も非常に簡単に求められるようになる。

1663年

[値] 村松茂清が『算俎』を著し、円に内接する正2ⁿ角形 (2≤n≤15) の辺の長さから π ≒ 3.1415 92648 77769 88692 48とし、小数点以下7桁まで正しい値を求めた。コイレンなどの計算には遠く及ばないものの、中国などを通じて入ってくる算書に頼り切ってきた和算と違い、はじめて数学的な方法で円周率を計算し発表した和算家が村松である。

計算式の改良の時代

1621年

[法][値] オランダのウィレブロード・スネル・スネリウスが、円周の長さの評価式を与える。

${3\sin \theta \over 2+\cos \theta }<\theta <{2\sin \theta +\tan \theta \over 3}$

この式と円に内接・外接する正 6 角形から 3.14022 < π < 3.14160 と評価した。この式の証明はホイヘンスによって与えられ、さらにホイヘンスによって改良された結果、正六角形を用いただけで 3.1415926533 < π < 3.1415926538 と評価できるまでになった。

1655年

[法] イギリスのウォリスは無限乗積

${\pi \over 2}=\prod _{n=1}^{\infty }{(2n)^{2} \over (2n-1)(2n+1)}$

を示した。ビエタの公式のように根号が無いため計算はしやすいが、収束はとても遅い。

同じくイギリスのブラウンカーが、連分数を用いた公式

${4 \over \pi }=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {\cdots }{\cdots +{\cfrac {\left(2n-1\right)^{2}}{2+\cdots }}}}}}}}$

を示した。

1665年

[学] イギリスの政治哲学者のホッブズが円積問題の解を公表し、ウォリスとの間で論争になる。ホッブズは死ぬまで厳密解と近似解の違いを理解できずに論争を続けた。

1671年

[法] スコットランドのグレゴリーにより、グレゴリー級数

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+{\frac {1}{9}}x^{9}-\cdots$

が発見される。これとは独立に1674年にライプニッツも同じ発見をしており、グレゴリー・ライプニッツ級数とも呼ばれる。ライプニッツは x = 1 を代入し マーダヴァと同じ無限級数を得た。

1681年

[値] 暦の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、関孝和が正 131072 角形を使って小数第 16 位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.1415926535微弱」というものだったが、エイトケン補外を用いた途中計算では小数第 16 位まで正確に求めている。西洋でエイトケン補外が再発見されたのは1876年、H.von.Nägelsbachによってである。

1699年

[値](72) イギリス人のシャープがグレゴリー・ライプニッツ級数に x = 1⁄√3 を入れ、π を小数第 72 位まで求めた。

1706年

[法][値](100) イギリスのジョン・マチンがマチンの公式

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

を発見する。さらに、この関係式にグレゴリ・ライプニッツ級数を用いて小数第 100 位までの円周率を求めた。

[文] ウィリアム・ジョーンズが初めて π を円周率の意味で用いた。1748年にオイラーも同じ記法を用いたことで円周率を π と表記することが広まった。

1719年

[値](127) フランスのトーマス・ラグニーが、シャープの方法で小数第 127 位まで計算を行う。

1722年

[値] 建部賢弘が『綴術算経』（てつじゅつさんけい）を著し、正 1024 角形を用いて小数第 42 位まで求めた。「累遍増約術」（Richardson補外）を適用し、関孝和の計算に比べて遥かに少ない計算で精度を大いに改善している。なお、ルイス・フライ・リチャードソンによる同手法の提案は1910年頃である。

1761年

[学] ドイツのランベルトによって π が有理数でないことが証明される。

18世紀中頃

[法] オイラーによって、多くの π に関する式が発見される。オイラーは

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

を用いて、 たった1時間で円周率を小数第 20 位まで計算した。

1775年

[学] フランスの科学アカデミーが、ギリシアの三大作図問題と永久機関についての論文審査を拒否する決議をした。

1789年

[値](137) スロベニアの数学者ユリー・ベガは、マチンの公式を用いて小数第 140 位まで値を求め、小数第 137 位までが正しかった。この記録はその後50年破られることがなかった。

1794年

[学] ルジャンドルによって π は有理数の平方根にならないことが証明される。

1850年頃–1873年

[値](527) イギリスのウィリアム・ラザフォードとその弟子のウィリアム・シャンクスがマチンの公式を用いて桁数の記録を塗り替えた。1852年にラザフォードが小数第 441 位、シャンクスが小数第 530 位まで計算し、小数第 441 位までは両者の計算が一致していることでその計算の正しさを確認できた。しかし、arctan(1⁄5) が小数第 530 位までしか正しくなく、シャンクスの計算で正しかったのは、小数第 527 位までであった。その後、シャンクスは1872年に小数第 707 位まで達したが、この誤りが最後までつきまとった。

1882年

[学] リンデマンによって π が代数的数でないことが証明される。これにより π の超越性が証明され、円積問題も否定的に解決された。

1896年

[法] ストーマー（Fredrik Carl Mulertz Størmer）は公式

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

を発見する。

1897年

→詳細は「インディアナ州円周率法案」を参照

[文][値] アメリカ合衆国のインディアナ州の下院で医者のエドウィン・グッドウィンによる円積問題解決方法を盛り込んだ議案246号が満場一致で通過した。グッドウィンの方法から得られる値は π = 3.1604, 3.2, 3.232, 4 であり、このうち 4 については公式に認められた最も不正確な円周率の値としてギネスブックに記載された。この法案は各審議会を通過していき上院に承認を求める段階にまで達した。しかし世論の批判にあい2月12日に上院によって議論の無期限延期が決められ、法案成立目前で却下された。

1910年

[法] ラマヌジャンによって、無限級数表示

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

が発見される。この公式は、ジョナサン&ピーター・ボールウェイン兄弟によって1987年に厳密に証明されるが、1985年にウィリアム・ゴスパーがこの公式を用いて円周率を計算し、その正確さを示している。

1945年

[値](540) ファーガソン(D.F.Ferguson)が小数第 540 位までを計算し、ウィリアム・シャンクスの誤りを指摘する。シャンクスの計算は約70年間も信用されていた。

このファーガソンの計算までが手計算によるものだった。手計算の時代は誤りが起こることも多かったが、この時代の数学の成果は、現代の計算機による円周率の計算においても非常に重要な役割を果たしている。

計算機による計算の時代

→「任意精度演算」も参照

1947–1948年

[値](808) ファーガソンは卓上計算機を使用して808桁まで求めた。この計算は、レビ・スミスとジョン・レンチによっても検算され、シャンクスの計算が間違いであることが繰り返し確認された。

1949年

[値](2037) ライトウィーズナーがENIACを用いてマチンの公式により 2037桁を 70時間かけて計算した。ENIACは第二次世界大戦において大砲の弾道計算を行うために作られたが、完成時にはすでに戦争は終わっていた。戦争以外にも計算機が有用であることを示すために円周率計算などに用いられた。

1954年

[値](3092) ニコルソンとジーネルがNORCを用いて3089桁を13分で計算した。

1958年

[値](1万) フランソワ・ジェニューイが、IBM 704を用いて 1万桁まで計算した。

1961年

[値](10万) ジョン・レンチとダニエル・シャンクスが IBM 7090を用いて 10万桁まで計算した。計算にはシュテルマーの公式

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

を使用した。検算にはガウスの公式

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}$

を使用した。

1966年

[値](25万) パリの原子力エネルギー委員会にあるIBM 7030を用いて25万桁まで計算した。

1967年

[値](50万) パリの原子力エネルギー委員会にあるCDC 6600を用いて50万桁まで計算した。

1973年

[値](100万) ジャン・ギューとマルティーヌ・ブイエがCDC 7600を用いて 100万1250桁まで計算した。

[法] ユージン・サラミンとリチャード・ブレントが独立に、算術幾何平均を用いたアルゴリズムを発見する。

1983年

[値] 若松登志樹がシャープのパソコンMZ-80Bを用いてガウスの公式

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}$

により7万1508桁まで計算。

1985年

[値](1752万) ウィリアム・ゴスパーがシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの式を用いて、1752万6200桁まで計算した。

1989年

この年は、チュドノフスキー兄弟と金田康正・田村良明によって激しい計算競争が行われた。

[値](4.80億) 5月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって4億8000万桁まで計算された。

[値](5.36億) 7月に金田康正と田村良明によって5億3687万898桁まで計算された。

[値](10.1億) 8月にデビッド・チュドノフスキーとグレゴリー・チュドノフスキーによって10億1119万6691桁まで計算された。

[値](10.7億) 11月に金田康正と田村良明によって10億7374万1799桁まで計算された。

1990年

[値] 若松登志樹が富士通のパソコンFM-TOWNSを用いてシュテルマーの公式

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

により100万118桁まで計算。

1994年

[法] チュドノフスキー兄弟によって無限級数

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

が発見された。

1995年9月19日午前0時29分

[法] カナダのサイモン・フレーザー大学で、デビット・H・ベイリー、ピーター・ボールウェイン、サイモン・プラウフの研究チームが無限級数

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

を発見する。この式では二進法または十六進法で n - 1 桁までを求めずに n 桁目以降の π の値を計算できる。ベイリーのウェブサイトで様々なプログラミング言語用の実装例を見ることができる。

他の位取り記数法（たとえば十進法）で同様の無限級数が存在するかは判明していない。

1997年

[値](515億) 金田康正と高橋大介が HITACHI SR2201 を用いて 4次のボールウェインのアルゴリズムにより 515億 3960万桁まで計算した。

1999年

[値](2061億) 金田康正と高橋大介が HITACHI SR8000 を用いてガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムにより 2061億5843万桁まで計算した。

2002年

[値](1.24兆) 金田康正が HITACHI SR8000 を用いて高野喜久雄の公式

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

と分割有理数化法により 1兆2411億桁まで計算した。検証計算などを含めて約600時間かけた。

2009年8月

[値](2.57兆) 筑波大学計算科学研究センターが、円周率を2兆5769億8037万桁まで計算する世界記録を樹立したと発表した。「T2K筑波システム」（毎秒95兆回）を使った。検証計算を含めて73時間36分かけた。

2009年12月

[値](2.69兆) フランスのファブリス・ベラールが、Intel Core i7を搭載したデスクトップPCでチュドノフスキーの級数を用いて2兆6999億9999万桁まで計算し、世界記録を樹立した。バイナリーでの計算に103日、検算に13日。データ量1137GB。2.93GHｚのクアッドコアプロセッサ、6GBのメモリ、7.5TBのストレージを搭載したデスクトップPCを使用し、検証計算を含めて131日を要した。

2010年

[値](5兆) 長野県飯田市の会社員近藤茂と米国のアレクサンダー・J・イーが、3カ月かけてパソコンで小数点以下5兆桁まで計算した。

参考文献

• 大野栄一『パソコンで挑む円周率　πの歴史から計算まで』講談社〈ブルーバックス〉、1991年10月。ISBN 4-06-132889-1。 
• 金田康正『π（パイ）のはなし』東京図書、1991年4月。ISBN 4-489-00338-2。 
• ジョージ・G・ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学　もう一つの数学史』垣田高夫・大町比佐栄訳、講談社〈ブルーバックス〉、1996年5月。ISBN 4-06-257120-X。 
• 田村松平責任編集 編「アルキメデスの科学」『ギリシアの科学』三田弘雄訳、中央公論社〈世界の名著 9〉、1972年2月。 
• J・ニーバージェルト、J・C・ファーラー・E・M・レインゴールド『数学問題へのコンピュータアプローチ』浦昭二・近藤頌子共訳、培風館、1976年5月。 
• 平山諦『和算の歴史　その本質と発展』筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2007年7月。ISBN 978-4-480-09084-3。http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480090843/。 
• ペートル・ベックマン『πの歴史』田尾陽一・清水韶光訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 4-480-08985-3。http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480089854/。 

関連項目

• 円周率の無理性の証明
• マチンの公式

外部リンク

• Yee, Alexander J. (2011年4月8日). “y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program”. 2011年4月15日閲覧。 - アレクサンダー・J・イーのサイト。小数点以下5兆桁まで計算したプログラムを公開している。
• 金田康正 (2010年8月10日). “金田研究室ホ－ムペ－ジ”. 2011年4月17日閲覧。 - 金田康正研究室のサイト。「スーパーπ」プログラムと円周率の計算結果を公開している。
• “円周率のはじめの百万桁”. 2011年4月15日閲覧。
• “円周率 1,000,000 桁”. 2011年4月15日閲覧。