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正十八角形
十八角形(じゅうはちかくけい、じゅうはちかっけい、octadecagon、octakaidecagon)は、多角形の一つで、18本の辺と18個の頂点を持つ図形である。内角の和は2880°で、対角線の本数は135本である。
正十八角形においては、中心角と外角は20°で、内角は160°となる。一辺の長さが a の正十八角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {18}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}\simeq 25.52a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c82d04638542ae6345f54d501742fb9dcdfd34)
で、外接円の半径 R は
![{\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{18}}\simeq 2.8794a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca9696291591a58415ba99cfd23ec94e10f243f)
で与えられる。
を平方根と立方根で表すと、
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{18}}=\cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {3}}i}}}{4}}={\frac {{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {3}}i}}}{\sqrt[{3}]{2^{4}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {1-{\sqrt {3}}i}{2}}}}{2}}={\frac {{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}}{2}}=0.9396926...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262d07cc6b0513f36c44d398511c55fa52cbc785)
正十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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