四十五角形

四十五角形（よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon）は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。

正四十五角形

正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は

S={\frac {45}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{45}}\simeq 160.8825a^{2}

$\cos(2\pi /45)$ を平方根と立方根で表すと、

{\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{45}}=&\cos \left({\frac {\pi }{9}}-{\frac {\pi }{15}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {\pi }{15}}+\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {\pi }{15}}\\=&{\frac {{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{\frac {i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\=&{\frac {1}{32}}\left(\left({{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}\right)\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\right)\end{aligned}}

関係式: ${\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {4\pi }{45}}+2\cos {\frac {26\pi }{45}}+2\cos {\frac {34\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {8\pi }{45}}+2\cos {\frac {38\pi }{45}}+2\cos {\frac {22\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {16\pi }{45}}+2\cos {\frac {14\pi }{45}}+2\cos {\frac {44\pi }{45}}=0\\\end{aligned}}$