二十三角形

正二十三角形

二十三角形（にじゅうさんかくけい、にじゅうさんかっけい、icositrigon）は、多角形の一つで、23本の辺と23個の頂点を持つ図形である。内角の和は3780°、対角線の本数は230本である。

正二十三角形

正二十三角形においては、中心角と外角は15.652…°で、内角は164.347…°となる。一辺の長さが a の正二十三角形の面積 S は

$S={\frac {23}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}\simeq 41.83436a^{2}$

$\cos(2\pi /23)$の値は、11次方程式を解くことにより冪根で表現される。$z^{11}=1$の複素数解の一つ $e^{{\frac {2\pi }{11}}i}$ をσとおいて、10次多項式にσを代入した値の11乗根を10個($\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4},\lambda _{5},\lambda _{6},\lambda _{7},\lambda _{8},\lambda _{9},\lambda _{10}$)用いて表される。

$\cos {\frac {2\pi }{23}}={\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}+\lambda _{5}+\lambda _{6}+\lambda _{7}+\lambda _{8}+\lambda _{9}+\lambda _{10}-1}{22}}$

$\lambda _{1}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma -625515\sigma ^{2}-78859\sigma ^{3}+740707\sigma ^{4}+84370\sigma ^{5}+834405\sigma ^{6}+98208\sigma ^{7}+361900\sigma ^{8}-56177\sigma ^{9})}}$

$\lambda _{2}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{2}-625515\sigma ^{4}-78859\sigma ^{6}+740707\sigma ^{8}+84370\sigma ^{10}+834405\sigma +98208\sigma ^{3}+361900\sigma ^{5}-56177\sigma ^{7})}}$

$\lambda _{3}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{3}-625515\sigma ^{6}-78859\sigma ^{9}+740707\sigma +84370\sigma ^{4}+834405\sigma ^{7}+98208\sigma ^{10}+361900\sigma ^{2}-56177\sigma ^{5})}}$

$\lambda _{4}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{4}-625515\sigma ^{8}-78859\sigma +740707\sigma ^{5}+84370\sigma ^{9}+834405\sigma ^{2}+98208\sigma ^{6}+361900\sigma ^{10}-56177\sigma ^{3})}}$

$\lambda _{5}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{5}-625515\sigma ^{10}-78859\sigma ^{4}+740707\sigma ^{9}+84370\sigma ^{3}+834405\sigma ^{8}+98208\sigma ^{2}+361900\sigma ^{7}-56177\sigma )}}$

$\lambda _{6}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{6}-625515\sigma -78859\sigma ^{7}+740707\sigma ^{2}+84370\sigma ^{8}+834405\sigma ^{3}+98208\sigma ^{9}+361900\sigma ^{4}-56177\sigma ^{10})}}$

$\lambda _{7}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{7}-625515\sigma ^{3}-78859\sigma ^{10}+740707\sigma ^{6}+84370\sigma ^{2}+834405\sigma ^{9}+98208\sigma ^{5}+361900\sigma -56177\sigma ^{8})}}$

$\lambda _{8}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{8}-625515\sigma ^{5}-78859\sigma ^{2}+740707\sigma ^{10}+84370\sigma ^{7}+834405\sigma ^{4}+98208\sigma +361900\sigma ^{9}-56177\sigma ^{6})}}$

$\lambda _{9}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{9}-625515\sigma ^{7}-78859\sigma ^{5}+740707\sigma ^{3}+84370\sigma +834405\sigma ^{10}+98208\sigma ^{8}+361900\sigma ^{6}-56177\sigma ^{4})}}$

$\lambda _{10}={\sqrt[{11}]{23(384812+188298\sigma ^{10}-625515\sigma ^{9}-78859\sigma ^{8}+740707\sigma ^{7}+84370\sigma ^{6}+834405\sigma ^{5}+98208\sigma ^{4}+361900\sigma ^{3}-56177\sigma ^{2})}}$

正二十三角形の作図

正二十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。

関連項目

• 1の冪根
• 十一角形

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Trigonometry angles". mathworld.wolfram.com (英語).

• π/23