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正二十六角形
二十六角形(にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon)は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。
正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {26}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{26}}\simeq 53.53232a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6d27c850387a899e40179978a7f0e483cdfa60)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}=\cos {\frac {\pi }{13}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot \cos {\frac {2\pi }{13}}}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)}}=0.970941...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65f719549d0a73d8f980927d7a7379080298b87)
- 求め方
以下のようにα、βを置く
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}\\\beta =&2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e883040a7b248c373234c51fc7ff991e6cbca00)
和と差の平方を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha +\beta =1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cc27da5b6c0893ba84d329eb496af267918a53)
α-βを求めると(α > βより)
![{\displaystyle \alpha -\beta ={\sqrt {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b236c6ffcf9faedb3e1dc4d124dff15cd2fd482)
よって
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}=&{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9030bfb4785ebc269a1d477ff56af53da853bd8)
一方
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega ^{2}\cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}\right)^{3}=&2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {-3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (2+{\sqrt {13}})+3\omega \cdot (2)={\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f911358ab79a9014aa05155407b51825f81dc6d8)
両辺の立方根を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{26}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f259cbd95c581143d3be8aa22bd3e23a129ccc7b)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {-26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66fa54fd2bd4d152224b8e7daa0273e850de752)
正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正二十六角形は折紙により作図可能である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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