正二十九角形
二十九角形(にじゅうきゅうかくけい、にじゅうきゅうかっけい、icosienneagon)は、多角形の一つで、29本の辺と29個の頂点を持つ図形である。内角の和は4860°、対角線の本数は377本である。
正二十九角形においては、中心角と外角は12.413…°で、内角は167.586…°となる。一辺の長さが a の正二十九角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {29}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{29}}\simeq 66.66265a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b144672d6013310e016c78114615fd5146501e)
の値は、七次方程式、二次方程式を解くことにより冪根で表現される[1]。
の複素数解を
として
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{29}}={\frac {\lambda _{1}+{\sqrt {\lambda _{1}^{2}-4\lambda _{5}}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b69f7eeb78d640dcb5b733b967a0fcec8d35fc)
ここで
は
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\frac {-1+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}}{7}}\,\\&\lambda _{2}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{6}+u_{2}\sigma ^{5}+u_{3}\sigma ^{4}+u_{4}\sigma ^{3}+u_{5}\sigma ^{2}+u_{6}\sigma }{7}}\,\\&\lambda _{3}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{5}+u_{2}\sigma ^{3}+u_{3}\sigma +u_{4}\sigma ^{6}+u_{5}\sigma ^{4}+u_{6}\sigma ^{2}}{7}}\,\\&\lambda _{4}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{4}+u_{2}\sigma +u_{3}\sigma ^{5}+u_{4}\sigma ^{2}+u_{5}\sigma ^{6}+u_{6}\sigma ^{3}}{7}}\,\\&\lambda _{5}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{3}+u_{2}\sigma ^{6}+u_{3}\sigma ^{2}+u_{4}\sigma ^{5}+u_{5}\sigma +u_{6}\sigma ^{4}}{7}}\,\\&\lambda _{6}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{2}+u_{2}\sigma ^{4}+u_{3}\sigma ^{6}+u_{4}\sigma +u_{5}\sigma ^{3}+u_{6}\sigma ^{5}}{7}}\,\\&\lambda _{7}={\frac {-1+u_{1}\sigma +u_{2}\sigma ^{2}+u_{3}\sigma ^{3}+u_{4}\sigma ^{4}+u_{5}\sigma ^{5}+u_{6}\sigma ^{6}}{7}}\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803005b26cb2e8e8714235bf9e227e713dea916a)
ここで
は
![{\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{6}+666\sigma ^{5}+2717\sigma ^{4}+3764\sigma ^{3}-34\sigma ^{2}+288\sigma )}}\,\\&u_{2}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{5}+666\sigma ^{3}+2717\sigma +3764\sigma ^{6}-34\sigma ^{4}+288\sigma ^{2})}}\,\\&u_{3}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{4}+666\sigma +2717\sigma ^{5}+3764\sigma ^{2}-34\sigma ^{6}+288\sigma ^{3})}}\,\\&u_{4}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{3}+666\sigma ^{6}+2717\sigma ^{2}+3764\sigma ^{5}-34\sigma +288\sigma ^{4})}}\,\\&u_{5}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{2}+666\sigma ^{4}+2717\sigma ^{6}+3764\sigma -34\sigma ^{3}+288\sigma ^{5})}}\,\\&u_{6}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma +666\sigma ^{2}+2717\sigma ^{3}+3764\sigma ^{4}-34\sigma ^{5}+288\sigma ^{6})}}\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed597df6c533515897b5d1b6efe1cacb4c19b1e6)
正二十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正二十九角形は折紙により作図が不可能な図形である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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