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正三十八角形
三十八角形(さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon)は、多角形の一つで、38本の辺と38個の頂点を持つ図形である。内角の和は6480°、対角線の本数は665本である。
正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a77561edc66f675d14e547517315eceb40d07e)
を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。
以下ように
をおくと
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38}}+2\cos {\frac {22\pi }{38}}+2\cos {\frac {14\pi }{38}}={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38}}+2\cos {\frac {10\pi }{38}}+2\cos {\frac {34\pi }{38}}={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38}}+2\cos {\frac {30\pi }{38}}+2\cos {\frac {26\pi }{38}}={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d0593b4340f42f34371c66a4a25c04445901a7)
以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。
![{\displaystyle x^{3}-x^{2}-6x+7=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7bcbeadb04c49fdd4505d7e205749b17d8834d)
さらに、以下のような関係式が得られる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9736fa4b66a5f8c186b8eb57c2d494b52bb8bc2)
両辺の立方根を取ると
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e4a1a421f886326c61106c6850add3644be92c)
よって
![{\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38}}=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01687af420f45ce5d3b65b7477db45b2a32895e8)
整理すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{38}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}-3){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega +6){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-38+(10\omega ^{2}+6){\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10\omega -3){\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b724eb5be651f36cb93aa848fd594b7d6e493780)
正三十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十八角形は折紙により作図可能である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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