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正三十一角形
三十一角形(さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon)は、多角形の一つで、31本の辺と31個の頂点を持つ図形である。内角の和は5220°、対角線の本数は434本である。
正三十一角形においては、中心角と外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {31}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{31}}\simeq 76.21197a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59161addaf3fe55001ef5c76dfaec9092e36585f)
は五次方程式、三次方程式を解くことにより求められる[1]。
の複素数解を
として
以下には、中間結果(五次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{31}}+2\cos {\frac {10\pi }{31}}+2\cos {\frac {12\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}}{5}}\,\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{31}}+2\cos {\frac {20\pi }{31}}+2\cos {\frac {24\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{4}+\lambda _{2}\sigma ^{3}+\lambda _{3}\sigma ^{2}+\lambda _{4}\sigma }{5}}\,\\&x_{3}=2\cos {\frac {8\pi }{31}}+2\cos {\frac {22\pi }{31}}+2\cos {\frac {14\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{3}+\lambda _{2}\sigma +\lambda _{3}\sigma ^{4}+\lambda _{4}\sigma ^{2}}{5}}\,\\&x_{4}=2\cos {\frac {16\pi }{31}}+2\cos {\frac {18\pi }{31}}+2\cos {\frac {28\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma +\lambda _{4}\sigma ^{3}}{5}}\,\\&x_{5}=2\cos {\frac {6\pi }{31}}+2\cos {\frac {26\pi }{31}}+2\cos {\frac {30\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma +\lambda _{2}\sigma ^{2}+\lambda _{3}\sigma ^{3}+\lambda _{4}\sigma ^{4}}{5}}\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2258f85cefa845869c7afcdb4218315dbeabda06)
ここで
は
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma +201\sigma ^{2}+66\sigma ^{3}+106\sigma ^{4})}}\,\\&\lambda _{2}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{2}+201\sigma ^{4}+66\sigma +106\sigma ^{3})}}\,\\&\lambda _{3}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{3}+201\sigma +66\sigma ^{4}+106\sigma ^{2})}}\,\\&\lambda _{4}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{4}+201\sigma ^{3}+66\sigma ^{2}+106\sigma )}}\,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912ca06ff54b688347d682c8babeb6ecf8b8bbb6)
は
を用いた以下の三次方程式の解の一つである。
![{\displaystyle u^{3}-{\frac {x_{1}}{2}}u^{2}+{\frac {x_{1}+x_{3}}{4}}u-{\frac {x_{2}+2}{8}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738618d1e91bb3434f7e557c775029f9e4fcf40d)
変数変換
![{\displaystyle v=u+{\frac {x_{1}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f3e6806a16d6d8f646319f4134d5d45680c187)
整理すると
![{\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{216}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c5b02890e7ae9bb03944a69cbc907667e4db70)
三角関数、逆三角関数を用いた解は
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{2(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})^{\frac {3}{2}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aee829e0efd526b2209745415f997df94adc3d)
上記三次方程式を変形すると
![{\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})(129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4})}{216\cdot 67}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c4310a1b94e28669b936e9eead8ca22b3ad378)
三角関数、逆三角関数を用いた解は
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13f51e0740aa102b98c2241c89b0677d8d87422)
平方根、立方根で表すと
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\\+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050ca010c2002ecbb683c498140b0bf8948f7ff4)
正三十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十一角形は折紙により作図が不可能な図形である。
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 |
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (抜粋) | |
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辺の数: 71–100 (抜粋) | |
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辺の数: 101– (抜粋) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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