垂足円

辺長$a,b,c$の$\triangle ABC$と点 $P$

$P$の各辺における$P_{a},P_{b},P_{c}$

外心$O$

緑の線は$P$の垂足円半径を表すのに使われる線分。

$\triangle ABC$に関する等角共役の関係にある点$P,Q$

垂足円は6つの垂足$P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{b},Q_{c}$ を通る

垂足円の中心$M$は線分$PQ$の中点

二等分線 $w_{a},w_{b},w_{c}$

4点 $A,B,C,D$ と4つの垂足円の交点$S$

垂足円（すいそくえん、英: pedal circle）は、幾何学において三角形$ABC$と点$P$について決まる特別な円である。具体的には、点$P$から$\triangle ABC$の辺に降ろした垂線と辺の交点$P_{a},P_{b},P_{c}$（垂足）が成す三角形（垂足三角形）の外接円を指す用語。

基準三角形の外心を$O$、外接円の半径をそれぞれ$R$として、$P$の垂足円の半径$r_{P}$は次の式で表される。

$r_{P}={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}$

$P$が基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これは$P$の垂足三角形が退化してシムソン線となり、その垂足円は半径が無限大の円となるためである。$P$が基準三角形の内心であるとき、その垂足円は基準三角形の内接円である。$P$が基準三角形の垂心または外心であるとき、その垂足円は九点円である。

$P$を外接円上にない点として、$P$の等角共役点$Q$の垂足円は$P$の垂足円と一致する。つまり垂足$P_{a},P_{b},P_{c}$と$Q_{a},Q_{b},Q_{c}$は同一円周上にある。さらに垂足円の中心は線分$PQ$の中点である。

グリフィスの定理または第二フォントネーの定理によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある定点を通る。

共線でない4点$A,B,C,D$について、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる。

関連項目

• オイラー・ポンスレ点

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズには、垂足円に関するカテゴリがあります。
• Pedal Circle of Isogonal Conjugates - GeoGebra
• pedal triangle and pedal circle
• 等角共役点