aaaaaa数論 で、素数の公式 は正確に素数 を生成する公式である。効率的に計算できるそのような式は知られていない。素数の公式にはいくつかの条件が知られており、そのような公式に何ができるか、何ができないかを示している。
f
(
n
)
=
⌊
n
!
mod
(
n
+
1
)
n
⌋
(
n
−
1
)
+
2
{\displaystyle f(n)=\left\lfloor {\frac {n!{\bmod {(}}n+1)}{n}}\right\rfloor (n-1)+2}
(
n
{\displaystyle n}
⌊
⌋
{\displaystyle \lfloor \ \rfloor }
床関数 である。）この式は、ウィルソンの定理 により、
n
+
1
{\displaystyle n+1}
n
!
≡
n
(
mod
n
+
1
)
{\displaystyle n!\equiv n{\pmod {n+1}}}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
[ 1]
n
+
1
{\displaystyle n+1}
n
!
{\displaystyle n!}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
1964年、ウィランスは次の式を発見した。
p
n
=
1
+
∑
i
=
1
2
n
⌊
(
n
∑
j
=
1
i
⌊
(
cos
(
j
−
1
)
!
+
1
j
π
)
2
⌋
)
1
/
n
⌋
{\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}}\left\lfloor \left({\frac {n}{\sum _{j=1}^{i}\left\lfloor \left(\cos {\frac {(j-1)!+1}{j}}\pi \right)^{2}\right\rfloor }}\right)^{1/n}\right\rfloor }
n
{\displaystyle n}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
[ 2]
p
n
{\displaystyle p_{n}}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
p
5
=
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
0
+
0
+
⋯
+
0
=
11
{\displaystyle p_{5}=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+0+0+\dots +0=11}
素数の集合は計算可能に列挙可能な集合 であるため、マチャセビッチの定理 により、ディオファントス方程式 から取得できます。Jones et al. (1976) 与えられた数k のように、26の変数から成る14のディオファントス方程式の明示的な集合を見つけました。 この方程式は、そのシステムに自然数 の解がある場合にのみ素数になります [ 3]
α
0
=
w
z
+
h
+
j
−
q
=
0
{\displaystyle \alpha _{0}=wz+h+j-q=0}
α
1
=
(
g
k
+
2
g
+
k
+
1
)
(
h
+
j
)
+
h
−
z
=
0
{\displaystyle \alpha _{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z=0}
α
2
=
16
(
k
+
1
)
3
(
k
+
2
)
(
n
+
1
)
2
+
1
−
f
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}=0}
α
3
=
2
n
+
p
+
q
+
z
−
e
=
0
{\displaystyle \alpha _{3}=2n+p+q+z-e=0}
α
4
=
e
3
(
e
+
2
)
(
a
+
1
)
2
+
1
−
o
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{4}=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}=0}
α
5
=
(
a
2
−
1
)
y
2
+
1
−
x
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}=0}
α
6
=
16
r
2
y
4
(
a
2
−
1
)
+
1
−
u
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{6}=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}=0}
α
7
=
n
+
ℓ
+
v
−
y
=
0
{\displaystyle \alpha _{7}=n+\ell +v-y=0}
α
8
=
(
a
2
−
1
)
ℓ
2
+
1
−
m
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{8}=(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}=0}
α
9
=
a
i
+
k
+
1
−
ℓ
−
i
=
0
{\displaystyle \alpha _{9}=ai+k+1-\ell -i=0}
α
10
=
(
(
a
+
u
2
(
u
2
−
a
)
)
2
−
1
)
(
n
+
4
d
y
)
2
+
1
−
(
x
+
c
u
)
2
=
0
{\displaystyle \alpha _{10}=((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}=0}
α
11
=
p
+
ℓ
(
a
−
n
−
1
)
+
b
(
2
a
n
+
2
a
−
n
2
−
2
n
−
2
)
−
m
=
0
{\displaystyle \alpha _{11}=p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m=0}
α
12
=
q
+
y
(
a
−
p
−
1
)
+
s
(
2
a
p
+
2
a
−
p
2
−
2
p
−
2
)
−
x
=
0
{\displaystyle \alpha _{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x=0}
α
13
=
z
+
p
ℓ
(
a
−
p
)
+
t
(
2
a
p
−
p
2
−
1
)
−
p
m
=
0
{\displaystyle \alpha _{13}=z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm=0}
14個の方程式α0 、…、 a13を使用して、26個の変数で素数を生成する 多項式の不等式を生成できます。
(
k
+
2
)
(
1
−
α
0
2
−
α
1
2
−
⋯
−
α
13
2
)
>
0
{\displaystyle (k+2)(1-\alpha _{0}^{2}-\alpha _{1}^{2}-\cdots -\alpha _{13}^{2})>0}
すなわち：
(
k
+
2
)
(
1
−
[
w
z
+
h
+
j
−
q
]
2
−
[
(
g
k
+
2
g
+
k
+
1
)
(
h
+
j
)
+
h
−
z
]
2
−
[
16
(
k
+
1
)
3
(
k
+
2
)
(
n
+
1
)
2
+
1
−
f
2
]
2
−
[
2
n
+
p
+
q
+
z
−
e
]
2
−
[
e
3
(
e
+
2
)
(
a
+
1
)
2
+
1
−
o
2
]
2
−
[
(
a
2
−
1
)
y
2
+
1
−
x
2
]
2
−
[
16
r
2
y
4
(
a
2
−
1
)
+
1
−
u
2
]
2
−
[
n
+
ℓ
+
v
−
y
]
2
−
[
(
a
2
−
1
)
ℓ
2
+
1
−
m
2
]
2
−
[
a
i
+
k
+
1
−
ℓ
−
i
]
2
−
[
(
(
a
+
u
2
(
u
2
−
a
)
)
2
−
1
)
(
n
+
4
d
y
)
2
+
1
−
(
x
+
c
u
)
2
]
2
−
[
p
+
ℓ
(
a
−
n
−
1
)
+
b
(
2
a
n
+
2
a
−
n
2
−
2
n
−
2
)
−
m
]
2
−
[
q
+
y
(
a
−
p
−
1
)
+
s
(
2
a
p
+
2
a
−
p
2
−
2
p
−
2
)
−
x
]
2
−
[
z
+
p
ℓ
(
a
−
p
)
+
t
(
2
a
p
−
p
2
−
1
)
−
p
m
]
2
)
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&(k+2)(1-{}\\[6pt]&[wz+h+j-q]^{2}-{}\\[6pt]&[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^{2}-{}\\[6pt]&[16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[2n+p+q+z-e]^{2}-{}\\[6pt]&[e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[n+\ell +v-y]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[ai+k+1-\ell -i]^{2}-{}\\[6pt]&[((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-{}\\[6pt]&[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x]^{2}-{}\\[6pt]&[z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm]^{2})\\[6pt]&>0\end{aligned}}}
は26変数の多項式不等式であり、素数の値は、変数a 、 b 、…、 z が非負の整数の範囲であるため、左側で取得される正の値の範囲と同じです。
マチャセビッチ の一般的な定理によれば、集合がディオファントス方程式の定義によって定義されている場合、それは9つの変数のみのディオファントス方程式の定義によっても定義できます。 [ 4] 45 のオーダー）。一方、次数4の方程式も存在しますが、58個の変数があります。 [ 5]
知られている最初のそのような公式はW. H. Mills ([[#CITEREFMills|]]) によって確立されました 、実数 A が存在することを証明した人は、
d
n
=
A
3
n
{\displaystyle d_{n}=A^{3^{n}}}
それから
⌊
d
n
⌋
=
⌊
A
3
n
⌋
{\displaystyle \left\lfloor d_{n}\right\rfloor =\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }
はすべての正の整数n の素数です。 [ 6] リーマン予想 が真である場合、そのような最小のA の値は約1.3063778838630806904686144926 ...であり、ミルズ定数 として知られています。
d
n
{\displaystyle d_{n}}
⌊
d
1
⌋
=
2
{\displaystyle \left\lfloor d_{1}\right\rfloor =2}
⌊
d
2
⌋
=
11
{\displaystyle \left\lfloor d_{2}\right\rfloor =11}
⌊
d
3
⌋
=
1361
{\displaystyle \left\lfloor d_{3}\right\rfloor =1361}
A についてはほとんど知られていません（有理数 であるかどうかさえも）。そもそも素数を見つけずに定数を計算する既知の方法がないため、この式には実用的な価値が多くありません。
式の床関数 については特別なことは何もないことに注意してください。 Tóth [ 7]
B
{\displaystyle B}
⌈
B
r
n
⌉
{\displaystyle \lceil B^{r^{n}}\rceil }
も素数を表します
r
>
2.106
…
{\displaystyle r>2.106\ldots }
Tóth 2017 ) 。
その場合(
r
=
3
{\displaystyle r=3}
B
{\displaystyle B}
2
,
7
,
337
,
38272739
,
56062005704198360319209
,
176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269
,
…
{\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }
リーマン予想を仮定せず に、エルショーツはミルズのものと同様の複数個の素数関数 を発見しました。たとえば、
A
≈
1.00536773279814724017
{\displaystyle A\approx 1.00536773279814724017}
⌊
A
10
10
n
⌋
{\displaystyle \left\lfloor A^{10^{10n}}\right\rfloor }
n
{\displaystyle n}
A
≈
3.8249998073439146171615551375
{\displaystyle A\approx 3.8249998073439146171615551375}
⌊
A
3
13
n
⌋
{\displaystyle \left\lfloor A^{3^{13n}}\right\rfloor }
n
{\displaystyle n}
[ 8]
ミルズの式に似た別の素数生成式は、 ライト の定理に由来します。彼はある実数α が存在することを証明しました。
g
0
=
α
{\displaystyle g_{0}=\alpha }
g
n
+
1
=
2
g
n
{\displaystyle g_{n+1}=2^{g_{n}}}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
それから
⌊
g
n
⌋
=
⌊
2
…
2
2
α
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{n}\right\rfloor =\left\lfloor 2^{\dots ^{2^{2^{\alpha }}}}\right\rfloor }
はすべての
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
[ 9]
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
1.9287800
{\displaystyle \alpha =1.9287800}
⌊
g
1
⌋
=
⌊
2
α
⌋
=
3
{\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor =\left\lfloor 2^{\alpha }\right\rfloor =3}
⌊
g
2
⌋
=
13
{\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor =13}
⌊
g
3
⌋
=
16381
{\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor =16381}
⌊
g
4
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor }
α
=
1.9287800
+
8.2843
⋅
10
−
4933
{\displaystyle \alpha =1.9287800+8.2843\cdot 10^{-4933}}
⌊
g
1
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor }
⌊
g
2
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor }
⌊
g
3
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor }
⌊
g
4
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor }
[ 10]
⌊
g
5
⌋
{\displaystyle \left\lfloor g_{5}\right\rfloor }
定数が与えられた
f
1
=
2.920050977316
…
{\displaystyle f_{1}=2.920050977316\ldots }
オンライン整数列大辞典 の数列 A249270 関数 、
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
n
=
⌊
f
n
−
1
⌋
(
f
n
−
1
−
⌊
f
n
−
1
⌋
+
1
)
{\displaystyle f_{n}=\left\lfloor f_{n-1}\right\rfloor (f_{n-1}-\left\lfloor f_{n-1}\right\rfloor +1)}
(1 )
(
⌊
⌋
{\displaystyle \left\lfloor \ \right\rfloor }
n
{\displaystyle n}
⌊
f
n
⌋
{\displaystyle \lfloor f_{n}\rfloor }
⌊
f
1
⌋
=
2
{\displaystyle \left\lfloor f_{1}\right\rfloor =2}
⌊
f
2
⌋
=
3
{\displaystyle \left\lfloor f_{2}\right\rfloor =3}
⌊
f
3
⌋
=
5
{\displaystyle \left\lfloor f_{3}\right\rfloor =5}
[ 11]
f
1
=
2.920050977316
{\displaystyle f_{1}=2.920050977316}
この正確な 値
f
1
{\displaystyle f_{1}}
すべての 素数を生成するものは、急速に収束する級数 によって与えられます
f
1
=
∑
n
=
1
∞
p
n
−
1
P
n
=
2
−
1
1
+
3
−
1
2
+
5
−
1
2
⋅
3
+
7
−
1
2
⋅
3
⋅
5
+
⋯
,
{\displaystyle f_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p_{n}-1}{P_{n}}}={\frac {2-1}{1}}+{\frac {3-1}{2}}+{\frac {5-1}{2\cdot 3}}+{\frac {7-1}{2\cdot 3\cdot 5}}+\cdots ,}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
f
1
≃
2.920050977316134712092562917112019.
{\displaystyle f_{1}\simeq 2.920050977316134712092562917112019.}
これには、式（ 1
上記のMillsの式とWrightの式と同様に、素数のより長いリストを生成するには、最初の定数のより多くの桁を知ることから始める必要があります。
f
1
{\displaystyle f_{1}}
2018年、サイモン・プラウフ は素数の公式を推測 しました。ミルズの公式と同様に、それらは次の形式になります.
{
a
0
r
n
}
{\displaystyle \left\{a_{0}^{r^{n}}\right\}}
{
}
{\displaystyle \{\ \}}
a
0
≈
43.80468771580293481
{\displaystyle a_{0}\approx 43.80468771580293481}
r
=
5
/
4
{\displaystyle r=5/4}
a
0
=
10
500
+
961
+
ε
{\displaystyle a_{0}=10^{500}+961+\varepsilon }
r
=
1.01
{\displaystyle r=1.01}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
確率的素数 を生成できることを発見しました。おそらく、この式が実際の素数の無限の素数を与えるようなεが存在します。桁数は501から始まり、毎回約1％ずつ増えていきます。 [ 12] [ 13]
すべての整数n の素数に評価される、整数係数を持つ非定数 多項式 関数P （ n ）は存在しないことが知られています。証明は次のとおりです。そのような多項式が存在したと仮定します。次に、 P （1）は素数p に評価されるため、
P
(
1
)
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle P(1)\equiv 0{\pmod {p}}}
kに対して 、
P
(
1
+
k
p
)
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle P(1+kp)\equiv 0{\pmod {p}}}
P
(
1
+
k
p
)
{\displaystyle P(1+kp)}
p 自体でない限り、素数になることもできません（ p で割り切れる可能性があるため）。しかし、唯一の方法
P
(
1
+
k
p
)
=
P
(
1
)
=
p
{\displaystyle P(1+kp)=P(1)=p}
k は、多項式関数が定数の場合です。同じ推論は、さらに強力な結果を示しています。ほとんどすべての整数n の素数に評価される非定数多項式関数P （ n ）は存在しません。
オイラー は1772年に次の二次多項式 を発見しました。
P
(
n
)
=
n
2
+
n
+
41
{\displaystyle P(n)=n^{2}+n+41}
P
(
n
)
{\displaystyle P(n)}
n =0、1、2、...、39で素数でを生成し、対応する素数は41、43、47、53、61、71、...1601です。用語の違いは2、4、6、8、10...です。 n = 40の場合、平方数 1681が生成されます。n= 41、 n≥0 の場合のこの式の最小合成数 。 nが41で割り切れるとすると、 P(n)も割り切れます。さらに、 P(n)はn(n + 1）+ 41、nが41で割り切れる場合、 P (n )も割り切れます。この現象は、暗黙的に2次式であるウラムの螺旋 とクラス番号 に関連しています。この多項式は、ヒーグナー数 に関連していて、(
163
=
4
⋅
41
−
1
{\displaystyle 163=4\cdot 41-1}
p
=
2
,
3
,
5
,
11
and
17
{\displaystyle p=2,3,5,11{\text{ and }}17}
ヘーグナー数 に対応します。
全ての正の整数Sに対して 、式n 2 + n + c が常にS と互いに素になるようにc が無限に存在する可能性があります。整数c は負の場合があります。その場合、素数が生成されるまでに遅延が発生します。
等差数列に関するディリクレの定理に 基づいて、線形多項式関数が知られています。
L
(
n
)
=
a
n
+
b
{\displaystyle L(n)=an+b}
a とb が互いに素 である限り、無限に多くの素数を生成します（ただし、そのような関数はn のすべての値に対して互いに素な値を想定しません）。さらに、グリーン・タオの定理 は、任意のkに対して 、 a とb のペアが存在し、その特性は次のようになると述べています。
L
(
n
)
=
a
n
+
b
{\displaystyle L(n)=an+b}
k までの任意のnに対して 素数です − 1.1。ただし、 2020年現在[update] k =27の場合です。
224584605939537911
+
18135696597948930
n
{\displaystyle 224584605939537911+18135696597948930n}
は、0から26までのすべてのnに対して 素数です。 [ 14] 単変量多項式 が存在するかどうかもわかりません。ブニャコフスキー予想 を参照してください。
別の素数を生成する式は次の漸化式 によって定義されます。
a
n
=
a
n
−
1
+
gcd
(
n
,
a
n
−
1
)
,
a
1
=
7
,
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\gcd(n,a_{n-1}),\quad a_{1}=7,}
ここで、gcd（ x 、 y ）は、 x とy の最大公約数 を示します。差のシーケンスan+ 1 − a nは、1、1、1、5、3、1、1、1、1、11、3、1、1、1、1、1、1、1、1、1で始まります。 、 ... 関数 。 ローランド (2008) は、このシーケンスには1と素数のみが含まれていることを証明しました。ただし、gcd（ n + 1、 a n ）は常に奇数 であるため、2に等しくなることはありません。587は、1とは異なる最初の10,000の結果に表示されない最小の素数（2を除く）です。それにもかかわらず、同じ論文では、それはかなり非効率的ですが、すべての奇数の素数を含むと推測されました。 [ 15]
素数だけを列挙する簡単なプログラムと、より効率的なプログラムがあることに注意してください。そのため、このような漸化式は、実際の使用よりも好奇心の問題です。
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{\displaystyle n}
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互いに素 双子 (p , p + 2Bi-twin chain (n − 1, n + 1, 2n − 1, 2n + 1, …三つ子 (p , p + 2p + 4, p + 6四つ子 (p , p + 2, p + 6, p + 8k −Tupleいとこ (p , p + 4セクシー (p , p + 6陳 ソフィー・ジェルマン (p , 2p + 1カニンガム鎖 (p , 2p ± 1, …安全 (p , (p − 1)/2算術数列 （英語版 ） p + an ; n = 0, 1, …平衡 (p − n , p , p + n 桁数 複素数 合成数 関連する話題 最初の50個
素数の一覧
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(k+2)(1-{}\\[6pt]&[wz+h+j-q]^{2}-{}\\[6pt]&[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^{2}-{}\\[6pt]&[16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[2n+p+q+z-e]^{2}-{}\\[6pt]&[e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[n+\ell +v-y]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[ai+k+1-\ell -i]^{2}-{}\\[6pt]&[((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-{}\\[6pt]&[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x]^{2}-{}\\[6pt]&[z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm]^{2})\\[6pt]&>0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3484e9eb9010c1c6264c9001fadcfa14fccf3239)
