利用者:紅い目の女の子/下書き2

ストークスのパラドックス

ストークスのパラドックス（英: Stokes' Paradox）は、流体力学において二次元円板の周りを過ぎるほふく流が存在しないという事象、あるいは同等の事象として、無限に長い円柱の周りを過ぎるストークスの流れについて非自明な定常解がストークス方程式から得られないという事象のことを指す。 これは3次元の場合、例えば球の周りを過ぎる流れを考えるときには、ストークス方程式から解が得られることとは対照的である。 このようなパラドックスが発生するのは、ストークス方程式を得るための近似が、物体の十分遠方では悪くなるからである。オセーンの方程式はこうした近似の悪さを改善したもので、この方程式を用いるとパラドックスは生じない。

導出

流れの速度ベクトル$\mathbf {u}$は、流れ函数$\psi$を用いて以下のように表せる。

$\mathbf {u} =\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)$

ストークス流の問題において流れ関数は、重調和方程式を満たす。$(x,y)$平面を複素平面と見なすことにより、複素解析のアプローチを用いることができる。 このアプローチによると、$\psi$は次の式の実部、または虚部である。

${\bar {z}}f(z)+g(z)$

ここで、$i$は虚数単位で、$z=x+iy$であり、${\bar {z}}=x-iy$である。また、$f(z),g(z)$は are holomorphic functions outside of the disk. Here $z=x+iy$, where $i$ is the imaginary unit, ${\bar {z}}=x-iy$, and $f(z),g(z)$ are holomorphic functions outside of the disk. We will take the real part without loss of generality. Now the function $u$, defined by $u=u_{x}+iu_{y}$ is introduced. $u$ can be written as $u=-2i{\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$, or ${\frac {1}{2}}iu={\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$ (using the Wirtinger derivatives). This is calculated to be equal to

${\frac {1}{2}}iu=f(z)+z{\bar {f\prime }}(z)+{\bar {g\prime }}(z).$

Without loss of generality, the disk may be assumed to be the unit disk, consisting of all complex numbers z of absolute value smaller or equal to 1.

The boundary conditions are:

$\lim _{z\to \infty }u=1,$

$u=0,$

whenever $|z|=1$, and by representing the functions $f,g$ as Laurent series:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}z^{n},\quad g(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{n}z^{n},$

the first condition implies $f_{n}=0,g_{n}=0$ for all $n\geq 2$.

Using the polar form of $z$ results in $z^{n}=r^{n}e^{in\theta },{\bar {z}}^{n}=r^{n}e^{-in\theta }$. After deriving the series form of u, substituting this into it along with $r=1$, and changing some indices, the second boundary condition translates to

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in\theta }\left(f_{n}+(2-n){\bar {f}}_{2-n}+(1-n){\bar {g}}_{1-n}\right)=0.$

Since the complex trigonometric functions $e^{in\theta }$ compose a linearly independent set, it follows that all coefficients in the series are zero. Examining these conditions for every $n$ after taking into account the condition at infinity shows that $f$ and $g$ are necessarily of the form

$f(z)=az+b,\quad g(z)=-bz+c,$

where $a$ is an imaginary number (opposite to its own complex conjugate), and $b$ and $c$ are complex numbers. Substituting this into $u$ gives the result that $u=0$ globally, compelling both $u_{x}$ and $u_{y}$ to be zero. Therefore, there can be no motion – the only solution is that the cylinder is at rest relative to all points of the fluid.

Resolution

The paradox is caused by the limited validity of Stokes' approximation, as explained in Oseen's criticism: the validity of Stokes' equations relies on Reynolds number being small, and this condition cannot hold for arbitrarily large distances $r$.

A correct solution for a cylinder was derived using Oseen's equations, and the same equations lead to an improved approximation of the drag force on a sphere.

関連項目

• Oseen's approximation
• Stokes' law