偏相関

偏相関（へんそうかん、英: partial correlation）は、別の交絡因子による影響を取り除いた関心のある2つの変数の間の相関を表す概念である。ピアソンの積率相関係数を使用すると、別の交絡因子がある場合に誤解を招く結果が得られる。この誤解を招く情報は、偏相関係数を計算し交絡変数を制御することによって回避できる。

偏相関係数は、ピアソンの積率相関係数と同様に、–1から1の範囲の値を取る。偏相関係数の値が–1のときは、別の交絡因子による影響を取り除いた完全な負の相関（線形関係）を表す。偏相関係数の値が1のときは完全な正の相関（線形関係）を表し、値が0のときは線形関係がないことを表す。

定義

n 個の制御変数 Z = {Z₁, Z₂, ..., Z_n} が与えられた場合の X と Y の間の偏相関 ρ_XY·Z は、e_X（X を Z で線形回帰したときの残差）と e_Y（Y を Z で線形回帰したときの残差）の相関である。

計算

関連する2つの線形回帰問題を解き、残差を取得し、残差間の相関を計算する。

線形回帰の使用

例

X	Y	Z
2	1	0
4	2	0
15	3	1
20	4	1

> X = c(2,4,15,20)
> Y = c(1,2,3,4)
> Z = c(0,0,1,1)
> mm1 = lm(X~Z)
> res1 = mm1$residuals
> mm2 = lm(Y~Z)
> res2 = mm2$residuals
> cor(res1,res2)
[1] 0.919145
> cor(X,Y)
[1] 0.9695016
> generalCorr::parcorMany(cbind(X,Y,Z))
                 
     nami namj partij   partji rijMrji  
[1,] "X"  "Y"  "0.8844" "1"    "-0.1156"
[2,] "X"  "Z"  "0.1581" "1"    "-0.8419"

再帰式の使用

$\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}.$

$\rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}$

逆行列の使用

\rho _{X_{i}X_{j}\cdot \mathbf {V} \setminus \{X_{i},X_{j}\}}=-{\frac {p_{ij}}{\sqrt {p_{ii}p_{jj}}}}.

解釈

幾何学的

条件付き独立性テストとして

参照：フィッシャー変換

$z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}{1-{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}}\right).$

${\sqrt {N-|\mathbf {Z} |-3}}\cdot |z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })|>\Phi ^{-1}(1-\alpha /2),$

半偏相関（部分相関）

時系列分析で使用

$\varphi (h)=\rho _{X_{0}X_{h}\,\cdot \,\{X_{1},\,\dots \,,X_{h-1}\}}.$

参考文献

外部リンク

定義

計算