ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケート（英: lemniscate of Bernoulli）は極座標の方程式

r^{2}=a^{2}\cos 2\theta

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。

直交座標の方程式では

(x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})=0

となる。

レムニスケートはヤコブ・ベルヌーイによって1694年に最初に発見され、イタリアの数学者ジュリオ・カルロ・ド・トスキ・ディ・ファニャノ（英語版）によって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

性質

カッシーニの卵形線の特殊例と見なすことができる。
x軸、y軸に対して線対称である。
原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=±x となる。原点Oと $\pm {\sqrt {2}}a$ でx軸と交わる。
点 $(\pm a, 0)$ は、レムニスケートの焦点と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「当該任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定値 $a 2$ となる。
直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。
ループ1つで囲まれる面積は $a 2$ であり、2つ合わせて $2 a 2$ となる。
区間 $0\leq \theta \leq \varphi$ における曲線の弧長は第一種楕円積分を用いて ${\frac {a}{\sqrt {2}}}F\left(\varphi ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$ と表される。これにより、曲線の全周長は ${\sqrt {8}}aK\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=2\varpi a$ となる。ここで $ϖ$ はレムニスケート周率と呼ばれ、 $a$ を円の半径、レムニスケート周率を円周率と見立てれば、全周長の式は円の周長の式と合致することとなる。
極座標の偏角 $θ$ の点における法線とx軸との成す角は、 $3 θ$ となる。