双曲線

双曲線

双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ² 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。

この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。

双曲線の方程式

一般形

2次元直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ $(a,b)$, $(c,d)$、焦点からの距離の差の絶対値を $k$ とする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。

$\left|{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-d)^{2}}}\,\right|=k$

この方程式は、うまく式変形することにより、必ず

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$　　（ただし $A,B,C,D,E,F$ は実数）

という形に表すことができる。証明は以下の通り。

標準形

双曲線の標準形

標準形	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
漸近線	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$	${\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0$
焦点	$(\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$	$(0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$
頂点	$(\pm {a},0)$	$(0,\pm {b})$
準線	$x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	$y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
離心率	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$	$e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}$

双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ (*)

この場合、焦点の座標は

$F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 $x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 $e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}$ に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0$

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：x² − y² = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。

媒介変数表示

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

${\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}$

また双曲線から左側の頂点 (−a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。

${\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}$

ただし t ≠ ±1 とする。右側の連結成分は −1 < t < 1 に、左下の連結成分は t > 1 に、左上の連結成分は t < −1 に対応する。これは二点 (−a, 0) と (0, tb) を通る直線 ay = tb(x + a) と双曲線との交点のひとつとして得られる。

円錐曲線としての双曲線

円錐切断面の4つのタイプ (放物線、楕円、円、双曲線)

双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。

離心率が e であるような円錐曲線を C_e とする。このとき、e ＞ 1 であれば、 C_e は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = −f , 焦点の一つが F(f, 0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x, y) に対し、方程式

$e(x-f)=\mathrm {PF}$

が成立するが、$\mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}$ となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

$x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}$

さらに x に関して平方完成させることにより、

$\left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}$

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動：$X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f$ , Y = y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

参考文献

• 田端毅、讃岐勝、礒田正美 著、礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編 編『曲線の事典　性質・歴史・作図法』共立出版、2009年12月25日。ISBN 978-4-320-01907-2。 
• 中村滋『円錐曲線　歴史とその数理』共立出版〈数学のかんどころ 7〉、2011年12月30日。ISBN 978-4-320-01987-4。 

関連項目

• 円錐曲線 - 楕円 - 放物線
• 彗星
• 双曲面
• 天体力学
• レムニスケート

外部リンク

• 『双曲線』 - コトバンク
• 『双曲線』 - 高校数学の美しい物語
• 双曲線の定義・標準形・焦点・漸近線、双曲線の方程式の決定
• 双曲線の知識まとめ（焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式）
• 双曲線の方程式
• デカルトの双曲線作図器１
• Weisstein, Eric W. "Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).