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代数学 におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英 : Binet–Cauchy identity )とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ および オーギュスタン=ルイ・コーシー に由来する、次の恒等式[ 1]
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
{\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
(
a
i
,
b
i
,
c
i
,
d
i
∈
K
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
)
{\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in \mathbb {K} \ (i=1,\cdots ,n))}
のことである。ここで、
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
は実数 や複素数 (より一般的には可換環 )を表す。
ci = ai かつ di = bi
とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式 (英語版 ) が得られる。これはユークリッド空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
におけるコーシー=シュワルツの不等式 を強化したものである。
右辺第2項を展開すると
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
c
i
b
j
d
j
+
a
j
c
j
b
i
d
i
)
+
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
b
i
d
i
−
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
d
i
b
j
c
j
+
a
j
d
j
b
i
c
i
)
−
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
b
i
c
i
=
(
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
+
∑
1
≤
j
<
i
≤
n
+
∑
1
≤
i
=
j
≤
n
)
a
i
c
i
b
j
d
j
−
(
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
+
∑
1
≤
j
<
i
≤
n
+
∑
1
≤
i
=
j
≤
n
)
a
i
d
i
b
j
c
j
=
∑
1
≤
i
≤
n
1
≤
j
≤
n
a
i
c
i
b
j
d
j
−
∑
1
≤
i
≤
n
1
≤
j
≤
n
a
i
d
i
b
j
c
j
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
−
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)\end{aligned}}}
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算 の可換性 を用いている。)
n = 3,
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
のとき
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
−
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
=
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
(
c
1
d
2
−
c
2
d
1
)
+
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
(
c
2
d
3
−
c
3
d
2
)
+
(
a
1
b
3
−
a
3
b
1
)
(
c
1
d
3
−
c
3
d
1
)
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
=
(
a
×
b
)
3
(
c
×
d
)
3
+
(
a
×
b
)
1
(
c
×
d
)
1
+
(
a
×
b
)
2
(
c
×
d
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}}
すなわち、クロス積 のスカラー四重積 の公式
(
a
×
b
)
⋅
(
c
×
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
(
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
3
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})}
が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)
この式をスカラー三重積 の性質を使って変形すれば
{
(
a
×
b
)
×
c
}
⋅
d
=
{
(
a
⋅
c
)
b
−
(
b
⋅
c
)
a
}
⋅
d
∴
(
a
×
b
)
×
c
=
(
a
⋅
c
)
b
−
(
b
⋅
c
)
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}}
とベクトル三重積 の公式が得られる。
また、c = a , d = b とおくと、
‖
a
×
b
‖
2
=
‖
a
‖
2
‖
b
‖
2
−
(
a
⋅
b
)
2
(
a
,
b
∈
R
3
)
{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})}
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
以下の定理はコーシー・ビネの公式 として知られている一般化である:
n を自然数 とし、集合 {1, …, n } を [n ] と表記する。m を非負整数 として、A を m × n 行列 、B を n × m 行列とする。
S を [n ] から m 個を選んだ部分集合とし、AS を A の n 個の列 から S に含まれる添字の列 を取り出して得られた m × m 行列、BS を B の n 個の行 から S に含まれる添字の行 を取り出して得られた m × m 行列とする。
m × m 行列である積 AB の行列式 は
det
(
A
B
)
=
∑
S
⊂
[
n
]
|
S
|
=
m
det
(
A
S
)
det
(
B
S
)
{\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}
となる。ただし、和において、S は、[n ] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。
特別な場合として、m = 2 として
A
=
(
a
1
…
a
n
b
1
…
b
n
)
,
B
=
(
c
1
d
1
⋮
⋮
c
n
d
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}}
を適用すれば
|
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
∑
i
=
1
n
b
i
c
i
∑
i
=
1
n
b
i
d
i
|
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
|
a
i
a
j
b
i
b
j
|
|
c
i
d
i
c
j
d
j
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}{\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}}}
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。