四重積(よんじゅうせき)とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー四重積とベクトル四重積の総称である。
スカラー四重積[編集]
スカラー四重積は2つのクロス積のドット積である。
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fac8502f1d514d6c7baf3dbe84b3a33c5da4087)
ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
![{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\&=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c463c5db7132ddc34ddae321451af235832d2a9)
が成り立つ。
スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
![{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=(({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {d}}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4024279b8dd06ae937a0216acc00416546fb536f)
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
![{\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec63d3ced8d43ba11bf99cd7a8d3927b299cb79e)
を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。
また、特別な場合である
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b0081eaee34d21f21a8de38c4b0ed34a6a1da1)
も有用な公式でラグランジュの恒等式(英語版)と呼ばれる。
ベクトル四重積[編集]
ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f285938819eef3d17b1d5174dadd7ec308612be)
ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。
ベクトル三重積の公式を使えば
![{\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a932ff01f0b30f7639097aaeb2110d9a648bb327)
が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。
2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。
2つの右辺が等しいことより恒等式
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1b2d8a26ab7db9cc29a46d9bbebaf99bdac189)
が得られる。
これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が
![{\displaystyle \left({[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]},{[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}] \over [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347d9221b04f21282c587cbbffbcd60a28fa3001)
であること示す。
あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}}){\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\boldsymbol {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdf0463dc39b1e71517f09592bfc18d6acbfc1d)
に対するクラメルの公式
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53853235523d7d207f7e399bdf5fac00b5c943ba)
と同じである。
なお、
![{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f968913af64624ace4119498795330b94257bbb6)
が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。
a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。
参考文献[編集]
関連項目[編集]