ノート:三角関数/過去ログ1

表記

TEX表記とそうでない表記はどういう基準で使い分けているのでしょうか。--以上の署名のないコメントは、222.148.99.8（会話/Whois）さんが 2004年9月22日 (水) 06:31 に投稿したものです（Alljalによる付記）。

Wikipedia‐ノート:ウィキプロジェクト 数学#mathタグの是非などが参考になるかと思います。- Kk@「Wiki Way」紹介中 2004年9月22日 (水) 07:37 (UTC)

三角関数の由来についてですが、図や対辺、底辺の定義が無いため各辺とsin,cosの対応が曖昧です。また、加法定理の導出をオイラーの公式から行っていますが、項目内の定義に従った証明を示すのが適切だと思います。現在の日本の学習順序では複素関数論よりも初等関数の学習のほうが先なので、オイラーの公式からの導出は不要な誤解を生みます。オイラーの公式から加法定理が導出できるというのはいわばトピック的に扱われる事実で、三角関数の項目に記載すべきかどうかは疑問です。--以上の署名のないコメントは、210.166.44.2（会話/Whois）さんが 2007年1月12日 (金) 16:15 に投稿したものです（Alljalによる付記）。

説明の仕方についての意見

すいません。中３です。でも、好きなんで高校数学やってます。えと、気づいた点を２つくらい言います（書きます）。

まず、最初から

$\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1$

と２乗の意味を説明せずに使っています。この記号の意味を既知として説明していないのだと思いますが、何も知らない人の為にも（実際私もそうでした）、できるだけ（教科書などに基づいた）説明を加えるべきだと思いました。

次に、過去の書き込みにもあるように、加法定理を導出する方法として、なぜ初等関数よりも高級な複素関数論しかあげなかったのでしょうか。

引用＞現在の日本の学習順序では複素関数論よりも初等関数の学習のほ::うが先なので、オイラーの公式からの導出は不要な誤解を生みます。オ::イラーの公式から加法定理が導出できるというのはいわばトピック的に::扱われる事実で、三角関数の項目に記載すべきかどうかは疑問です。

勝手に引用してすいません。でも、私もこの意見に同感です。確かにいきなり複素関数論から導出するのは日本の教育順序に反しており、誤解を招きやすく、無理があると思います。本文に

＞なお、当然のことながら、ここで述べた導出法はオイラーの公式を既:知とするように三角関数の導入（たとえば三角関数をべき級数として定:義）を行っていなければ通用しない。

とありますが、一般的にはそのような導入はあまり行われる事はないかと思われます。適当と思われる導出の一例として、単位円の座標を用いる方法があります（私の高校の参考書にありました）。しかしながら、私は図を書く事が出来ないので、他の方達にこの執筆を譲ります。ここまでしかできない私の力不足を感じています。すいません。

どうか、誰かがこの書き込みに気づいて、図と文章の執筆を担当してくれる方が現れてくれるのを祈ります。

math fan 2007年9月19日 (水) 23:28 (UTC)

前半の 2 乗については、歴史的な慣例に基づくものですが、そういった歴史が書いてあっても面白いかもしれませんね。

後半の加法定理と三角関数の定義についてですが、ここは、高校数学を解説するサイトではないので、日本の高校教育に従わなければならない理由は、ありません。百科事典である以上、いろんな方向から見ないといけません。加法定理の証明を並べる前に、定義を並べるべきでしょうね。三角函数の定義は、いくつかあります。級数による定義も、よくある定義の 1 つです。高校で学ぶ数学というものは、高校に入った人達がみんな理解できるように考えて、内容が選ばれているわけで、三角函数の全貌を学べるわけではありません。高校生くらいだと、具体性とか目に見えるものを追い求めがちでもあり、三角比のイメージを強く押し出した解説が多くなります。大学に入ると、数学は 0 から組み直され、三角函数も級数などで定義しなおしたりします。三角函数は、三角比の幾何学的描像から大きく離れ、独り立ちします。

三角函数とは一般にどういうものだ、と言うためには、日本の高校数学という単純で、非常に狭い世界だけ見ていても、分からないです。数学が好きで、三角函数についてもっとよく知りたいということであれば、高校の数学は早いところ終わらせて、さっさと大学の解析学の教科書を、眺められると良いと思います。高校の内容を学んだだけでは、三角函数を解説するのは難しいです。--１３２人目 2007年9月20日 (木) 06:38 (UTC)

返信ありがとうございます。

高校数学では三角関数の一部しか学べない事に驚きましたし、非常に残念です。たしかに高校数学だけでは、今現在の大学からみると非常に狭い世界なのかもしれませんね。今度大学の教科書を手に入れて読んでみます。速く飛び級とかして高校数学、更には大学数学を学び、博士課程に行きたいです。でも幾何的要素の大きい三角関数をあえて代数的にみる大学数学は本当にすごいですね。憧れちゃいます。日本に飛び級制度があったらと考えると今の初等数学の勉強にはあきあきしていますよ、ほんと。

高等数学のレベルには最初非常に苦労しましたが、大学のものは並大抵の人では理解できない境界に達しているのでしょう。でも私は勉強しなければなりません。せっかくいい数学センスを持っているのですから・・・

math fan 2007年9月21日 (金) 14

06 (UTC)

飽きるほど簡単なら、どんどん進めばいいですよ。数学の場合は、実験器具などがいるわけでもないので、教科書を読み、定理の証明を自分で行えるようになり、自力で問題を解いていけば、授業など受けなくても、なんとかなります。中学 3 年で、既に高校でやる範囲まで終わらせて、高校生相手に、大学受験用の問題を教えていた人も知っています。ドリーニュ先生みたいに、若いうちからかなり勉強されている方もいます。どういった教科書を読むべきかは、最近は、いろんな教科書を紹介するようなサイトもありますから、調べたり、質問したりしてみるといいと思います。頑張ってください。--１３２人目 2007年9月23日 (日) 05:31 (UTC)

記述ミス？

球面三角形の余弦則について調べていましたが、右辺のマイナスに関して、他での記述と食い違いがあるように見受けられます。--133.11.228.254 2009年12月1日 (火) 09:28 (UTC)

ご指摘ありがとうございます。直しておきました。（例えば、辺に関する中心角がほとんど0の場合を考えると符号がチェックできますね。）--Makotoy 2009年12月1日 (火) 20:15 (UTC)

「日本の中等教育における正弦関数の極限」節の是非

利用者‐会話:青子守歌#三角関数の ==日本の中等教育における正弦関数の極限== の節についての話です。以下に引用します。

「	今回編集した内容は、この問題に興味を持った方には非常に参考になるものになるであろう（今回の内容ではまだ情報が不足している感はありますが）内容だと考えています。三角関数の項目に投稿するのが不適切であるなら、どこに投稿すれば良いでしょうか。ご教授願います。--パンの袋を留めるやつ（会話） 2014年1月26日 (日) 14:04 (UTC)	」
—版番50496670

ここで述べられている「今回編集した内容」とは、本ページ三角関数の版番50479707（差分）の加筆を指します。この内容を、私が版番50481418（差分）にて「本項に書くには少し内容が特殊過ぎる」として取り消しました。 理由を詳しく書いていなかったので以下に書いておきます。

• 「特殊過ぎる」というのは、具体的には、本項は「三角関数に関して全般的な話題を扱うものである」ことに対して、「日本」（という一国家）の「中等教育」の、「一部の問題」を取り上げてる、ということです。主張される通り、「日本の中等教育における正弦関数の極限」について興味をもった方には参考になるかもしれませんが、三角関数について調べたい人たちに理解してもらう必要のある内容とまでは言えないと考えます。
• また、加筆内容ですが、実質的に単一の文献にのみ頼っており、それが「日本の中等教育」における重大な問題となっており（人類の知識の総和となる百科事典を目指す）ウィキペディアに掲載することの必要性が見いだせませんでした。

以上から、少なくとも本内容を本ページに載せることは不適切と考えます。

「じゃあどこに」という話なのですが、思いつきません。極限に関する日本の教育とか三角関数に関する日本の教育とかいうページがあればそこなんでしょうが、それはないですし。強いて言うなら数学II（？）とかでしょうが、それもそれでどうかと思います。 ウィキペディアはありとあらゆる情報を載せる必要はないわけですから、百科事典として載せるべき場所がないのであれば、無理して載せる必要もないと思います。--青子守歌（会話/履歴） 2014年1月27日 (月) 15:28 (UTC)

青子守歌さん、丁寧な回答ありがとうございます。納得致しました。今回の内容のWikipediaへの投稿は見送ることに致します。また今回の件は今後の活動の参考にさせて頂きます。また機会があればよろしくお願い致します。--パンの袋を留めるやつ（会話） 2014年1月28日 (火) 11:41 (UTC)

日本の高校生なら皆習う内容ですから特殊ではありません．日本に限った事でもありません．また，例えば杉浦『解析入門I』などでも触れられていることです．以上の理由で復活させました．--新規作成（会話） 2015年1月17日 (土) 12:03 (UTC)

コメント 「日本に限ったことではない」と主張されるのであれば、それを論拠とする情報源を参考文献として加筆するべきです。他の文献にも話題がある、というのであればそれも載せるべきです。でなければ今の記事のままでは日本に限った（しかもウェブ上のPDF単一に頼った）話題になっていますので、掲載する価値はありません。また「三角関数」について知りたい人に「（日本の中等教育で教えられる）sin(x)/xの極限の証明が正しくない（ことがある）」という話題が必要なのかよく考えてください、そしてどのように理解の助けになるのか説明してください。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月17日 (土) 12:20 (UTC)

＞「三角関数」について知りたい人に「（日本の中等教育で教えられる）sin(x)/xの極限の証明が正しくない（ことがある）」という話題が必要なのかよく考えてください

これはそのままあなたにお返ししましょう．記事は書く気になったときに書きます．--新規作成（会話） 2015年1月17日 (土) 12:34 (UTC)

全然返せてないので、そういう非生産的なコメントはおやめください。記事への加筆については原則として加筆を望む側に説明責任があります。除去すべき理由は既に述べましたので、それに対してまっとうな説明ができない・したくないのであれば、ウィキペディアに参加するべきではありません。また、版番54144306（差分）で{{節スタブ}}を貼られていますが、未完成タグは免罪符でないことに気をつけてください。加筆する予定（気）があるとのことですので1週間ぐらいは待ちたいと思いますが（短いならいつ頃になるのか宣言してください）、それ以上は記事の質を下げたまま放置するべきではないので、再度除去します。過去版には残っているのですから、加筆時に問題を整えてから復活なりさせてください。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月17日 (土) 13:08 (UTC)

ここであなたに対してコメントすべきことは記事に入れるべき内容でしょうからわざわざコメントを書いてから記事を書くのは時間の無駄です．--新規作成（会話） 2015年1月17日 (土) 13:27 (UTC)

はい、記事への加筆があるならそれが一番良いことです。加筆されて問題が解消されること、お待ちしています。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月18日 (日) 05:22 (UTC)

1週間様子を見てみましたが、文章も推敲・整理され、ずいぶん良くなったと思います。ただ1つ、refsの付け方が甘いので確認させてください。特に後半の段落ですがここに示されている手法は *すべて杉浦(1980)に載っている方法で、ご自身の知識からの補填や情報の合成はないものと考えてよいですよね？* 他の証明などもそうですが、その証明・手法が正しいかどうかについてはウィキペディア上で議論すべきものではないため、情報源に書いてある通りでないのであればそれはWP:V違反です。きちんと気をつけて書いたと返答いただければそれを信じますが、返答ない場合未確認情報を載せるわけに行かないので一旦除去せざるを得ません。お答えいただけますか。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月24日 (土) 05:11 (UTC)

後半の段落で示されている手法は脚注に書いてある通り杉浦 (1980) （正確にはその pp. 175-185）に従っています．--新規作成（会話） 2015年1月24日 (土) 05:31 (UTC)

ありがとうございます。ページ数まで指定可能であるなら、そのページ数も脚注に追記していただけませんでしょうか？--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月24日 (土) 06:30 (UTC)

証明をどこか別のところに

長い証明が邪魔で可読性を落としていると思います．日本語のウィキペディアでは折り畳みを使うべきでないとうるさい人がいるのでそのままにしてますが証明を例えば一番最後の節にまとめるとか別の記事にするとかした方がよいと思います．--新規作成（会話） 2015年1月17日 (土) 12:25 (UTC)

コメント 「長い証明が邪魔」なら除去すればいいだけですし、必要な情報なら長くても載せるべきです。この記事全体に言えることですが、ウィキペディアは百科事典でありまとめサイトではない、つまりなんでもかんでも情報を載せればいいわけではないことを、よく覚えておいてください。分割する（別の記事にする）手法はひとまずの案として成立しますが、単独記事として成立させるだけの書くべきことがあるのか（単に証明を載せるだけではない）は考慮すべきです。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月17日 (土) 13:15 (UTC)

Template‐ノート:Math proofにて、そもそも隠す機能の要・不要について問題提起されています。関わりの深い話題ですので、ひとまず案内まで。--青子守歌（会話/履歴） 2015年1月18日 (日) 05:21 (UTC)

(sin x) / x の x → 0 における極限の冪級数展開について

(sin x) / x の x → 0 における極限について、正弦関数と余弦関数を冪級数展開（マクローリン展開）で定義するためには、マクローリン展開の時点で正弦関数と余弦関数の微分が必要な気がしますが、これはどのようにして解決されますでしょうか。正弦関数と余弦関数の定義をマクローリン展開を用いて証明するのではなく、基本的な要請と見なして定義してしまうのでしょうか。それでは、あまり美しくない気がします。おおよそ、微分方程式による定義から正弦関数と余弦関数の微分が定義可能であることを使用するのであろうと想像しますが、他に良い方法があれば教示下さい。--Morley41Wiki（会話） 2015年1月18日 (日) 03:57 (UTC)

それはマクローリン展開しているのではありません．sin であれば

${\begin{aligned}\sin x&:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dotsb \end{aligned}}$

を定義としています．もちろんこのように定義する背景には幾何学的に定義された三角関数の（ナイーブに「証明」された）微分と関数のマクローリン展開に関する一般論（テイラーの定理等）などがあるわけですが，定義の背景と数学的な論理順序を混同してはいけません．このように（論理的な手順として）まず天下り式に定義を与えてから性質を証明すると言うのは現代数学のよくあるやり方です．--新規作成（会話） 2015年1月18日 (日) 04:36 (UTC)

返信、ありがとうございます。マクローリン展開をさておいて冪級数を定義したとしても、それが他の定義法が示す意味と同一であれば数学的に問題ないということで了解しました。現代数学で用いることのある、現実の事象から考えて数学的に明らかに自然だろうという天下り的な解釈を用いて定義するという手段を取られておられることが分かりましたので、納得致しました。また、天下り的に定義したものが後に比較対象の定義と確実に同一であることを示すことができれば、それは明確に同一の定義だと断定できるということをおっしゃっていることも理解しました。--Morley41Wiki（会話） 2015年1月18日 (日) 09:17 (UTC)

＞現代数学で用いることのある、現実の事象から考えて数学的に明らかに自然だろうという天下り的な解釈を用いて定義するという手段を取られておられる

天下りというのはそういう意味ではありません．[1]からそのまま引用すれば「突然こんな式出しちゃってるけど、後になったら理由わかるからしばらく黙ってついてきてね」が近いでしょうか．今回の定義は三角関数の微分とマクローリン展開を（間違った証明でも）「知って」いればこのように定義することは普通に思いつくあるいは理解できる（天から降ってくるようなもの，どうしてそのようにするのかわからないようなものではない）ことなのでそういう意味ではむしろ僕の天下り式の使い方が悪かったかもしれませんが．別の例を出せば群の定義とかでしょうか．集合に二項演算があって結合法則が成り立って単位元があって逆元がある．初めて群を学ぶ人にとってはなんでこんな定義をするのかわかりません．歴史的にこのような定義をすればいろいろと面白いことがわかることがわかっているからそういう定義をするわけですが．こういうのを天下り式定義といいます．天下り式というのは（さっきの外部リンクのように）証明に対しても使います．--新規作成（会話） 2015年1月24日 (土) 18:53 (UTC)

ご指摘ありがとうございます。確かにド・モアブルの定理を二項展開すれば冪級数の式が導出できます。したがって、マクローリン展開を知らなかったとしても定義可能です。ウィキペディアのオイラーの公式の証明にこの事実を載せたのを忘れていました。こうすれば、微分もマクローリン展開も使わなくて済みます。--Morley41Wiki（会話） 2015年1月24日 (土) 22:01 (UTC)

一番大切な部分が抜けてしまいましたが、これからは数学において「天下り的に」の意味を「なぜこうなるかはさておいて、結果だけ先にいうと」という意味で解釈します。ご教示ありがとうございます。--Morley41Wiki（会話） 2015年1月25日 (日) 13:29 (UTC)

多重三角函数と橢円函数の説明の追加

多重三角函数を参考文献にあげてある様なので、詳しい方は、多重ガンマ函数から三角函数・ガンマ函数の対応を用いて導入される事をサワリだけでも書いて欲しい（ポリログ函数なども）。それと橢円函数の加法定理等を例にあげて、モジュライ等の現代数学以前に、 Weierstrass のペー函数 で完成をみた様に、複素函数の周期性という視点で研究が進んでいた事を書いて欲しい。あまりに貧弱すぎる。126.124.204.92 2015年5月30日 (土) 17:50 (UTC)