ソディ円

幾何学において、三角形のソディ円（ソディえん、英:Soddy circles of a triangle）は、三角形に対して一意に存在する円の一つである。ソディ円の中心はソディ点（Soddy centers）と呼ばれる。フレデリック・ソディがデカルトの定理を再発見したことに由来して名づけられた。

任意の三角形の3頂点について、頂点を中心とし、他の頂点を中心とする2円と接する円が存在する。さらにこの3つの円に接する円が最大2つ存在する。この2円をソディ円と呼ぶ。またソディ円の中心をソディ点と言う。2つのソディ点を通る直線はソディ線と呼ばれ、ソディ線上には多くの三角形の中心が存在する。

定義

$A,B,C$ を三角形の頂点、 $a,b,c$ をその対辺の長さ、 $s$ を半周長とする。 $A,B,C$ を中心としそれぞれ半径を $s-a,s-b,s-c$ とする円は他の2円に接する。このときデカルトの定理より、3つの円に接する円が2つ存在し、それをソディ円という。

3つの円

A,B,Cを中心とし3円の半径を $(-s,s-c,s-b)$ とする円は互いに接する^[6]。ただし、負の半径は円が内部で接することを表す。 3円の接点は、辺かその延長線上にあり、うち2つは、角A内の傍接円とAB,ACの交点と一致する。また、この3円に関してもソディ円、ソディ点が定義できる。上記の双曲線に関する性質は、1つが双曲線、他2つが楕円に置き換わる^[1]。

B,C,AとC,A,Bについても、半径を $(s-b,s-a,-s),$ $(s-c,-s,s-a)$ とすれば同様の性質を得る。

ソディ線

→詳細は「ソディ線」を参照

2つのソディ点を通る直線をソディ線と言う。ソディ線は、2つのソディ円の相似中心である内心とジェルゴンヌ点、そしてド・ロンシャン点などを通る^[6]^[7]。

元の三角形のソディ円のほかに、「3つの円」の項で見たような、他3組の円の3つのソディ線はそれぞれがいずれかの傍心を通り、またド・ロンシャン点で交わる^[6]^[7]^[8]。

他の図形との関連

第一ソディ円と、A,B,Cを中心とするソディ円と他2円に接する3つの円の、接点の成す三角形を第一（外）ソディ三角形（Outer Soddy triangle）と言う。第二ソディ円に同様にして定義したものを第二（内）ソディ三角形と言う。

エプシュタイン点

第一ソディ三角形とジェルゴンヌ三角形は配景的でその配景の中心を第一エプシュタイン点（First Eppstein point）という^[9]^[10]^[11]^[12]。Eppsteinはエップシュタイン、エープシュタインなどとも書かれる。名はデイビッド・エプシュタイン（英語版）に由来する。

クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(481)として登録されており三線座標は以下の式で与えられる^[13]。

$1-2\sec {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}:1-2\sec {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}:1-2\sec {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}$

第二ソディ円にも同様にして定義したものを、第二エプシュタイン点と言う。「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(482)として登録されており三線座標は以下の式で与えられる。

$1+2\sec {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}:1+2\sec {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}:1+2\sec {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}$

エップシュタイン点はソディ線上にある^[14]。

リグビー点

第二ソディ三角形とその接線三角形の配景の中心、つまり第ニソディ三角形の類似重心を第一（内）リグビー点（1st Rigby point,Inner Rigby point）と言う^[15]^[16]。名はジョン・リグビーに由来する。第一リグビー点X(1371)の三線座標は、Sを三角形の面積として、以下の式で与えられる^[17]。

$1+{\frac {8S}{3a(b+c-a)}}:1+{\frac {8S}{3b(c+a-b)}}:1+{\frac {8S}{3c(a+b-c)}}$

第一ソディ三角形についても第二（外）リグビー点が同様に定義される。第ニリグビー点X(1372)の三線座標は、以下の式で与えられる。

$1-{\frac {8S}{3a(b+c-a)}}:1-{\frac {8S}{3b(c+a-b)}}:1-{\frac {8S}{3c(a+b-c)}}$

リグビー点はソディ線上にある。

グリフィス点

第一ソディ三角形の接線三角形と第二ソディ三角形の配景の中心を第一（外）グリフィス点（1st Griffiths point,Outer Griffiths point）と言う。同様に第二ソディ三角形の接線三角形と第一ソディ点の配景の中心を第二（内）グリフィス点と言う^[18]^[19]。名はヒューバート・ブライアン・グリフィスに由来する^[12]。それぞれX(1373),X(1374)で三線座標は以下の式で与えられる^[20]。

$X_{1373}=(1+{\frac {8S}{a(b+c-a)}}:1+{\frac {8S}{b(c+a-b)}}:1+{\frac {8S}{c(a+b-c)}})$

$X_{1374}=(1-{\frac {8S}{a(b+c-a)}}:1-{\frac {8S}{b(c+a-b)}}:1-{\frac {8S}{c(a+b-c)}})$

グリフィス点はソディ線上にある。

出典

^ ^a ^b texte, Association française pour l'avancement des sciences Congrès (019 ; 1890 ; Limoges) Auteur du (1890-1891) (フランス語). Association française pour l'avancement des sciences : conférences de Paris. 19, Compte-rendu de la 19e session. Seconde partie. Notes et mémoires
^ Veldkamp, G. R. (1985-10). “The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle” (英語). The American Mathematical Monthly 92 (8): 546–558. doi:10.1080/00029890.1985.11971677. ISSN 0002-9890.
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^ ^a ^b Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter. “The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle”. 2024年4月9日閲覧。
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^ ^a ^b ^c Vandeghen, A. (1964). “Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle”. The American Mathematical Monthly 71 (2): 176–179. doi:10.2307/2311750. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2311750.
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^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2”. faculty.evansville.edu. 2024年7月11日閲覧。

外部リンク

Bogomolny, Alexander, “Soddy circles and David Eppstein's centers”, Cut-the-knot

[:0-1] texte, Association française pour l'avancement des sciences Congrès (019 ; 1890 ; Limoges) Auteur du (1890-1891) (フランス語). Association française pour l'avancement des sciences : conférences de Paris. 19, Compte-rendu de la 19e session. Seconde partie. Notes et mémoires

[2] Veldkamp, G. R. (1985-10). “The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle” (英語). The American Mathematical Monthly 92 (8): 546–558. doi:10.1080/00029890.1985.11971677. ISSN 0002-9890.

[3] Garcia, Ronaldo; Reznik, Dan; Moses, Peter; Gheorghe, Liliana. “Triads of conics associated with a triangle”. 2024年4月9日閲覧。

[:1-4] Hajja, Mowaffaq; Yff, Peter. “The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle”. 2024年4月9日閲覧。

[:2-5] Frank M. Jackson. “Soddyian Triangles”. 2024年4月9日閲覧。

[:3-6] Vandeghen, A. (1964). “Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle”. The American Mathematical Monthly 71 (2): 176–179. doi:10.2307/2311750. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2311750.

[:4-7] “Wayback Machine”. web.archive.org. 2024年4月9日閲覧。

[8] Longuet-Higgins, Michael (2000-12-01). “A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle” (英語). The Mathematical Intelligencer 22 (1): 54–59. doi:10.1007/BF03024448. ISSN 0343-6993. https://doi.org/10.1007/BF03024448.

[9] Eppstein, David (2001-01). “Tangent Spheres and Triangle Centers”. The American Mathematical Monthly 108 (1): 63–66. doi:10.2307/2695679. ISSN 0002-9890. http://arxiv.org/abs/math/9909152.

[10] “FG200508index”. web.archive.org (2024年4月9日). 2024年7月11日閲覧。

[11] Weisstein, Eric W.. “First Eppstein Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月9日閲覧。

[:5-12] Oldknow, Adrian (1996). “The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle”. The American Mathematical Monthly 103 (4): 319–329. doi:10.2307/2975188. ISSN 0002-9890.

[13] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(481)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月9日閲覧。

[14] Eppstein, David (2001). “Tangent Spheres and Triangle Centers”. The American Mathematical Monthly 108 (1): 63–66. doi:10.2307/2695679. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2695679.

[15] Weisstein, Eric W.. “Rigby Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月9日閲覧。

[16] 『Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry - Ross Honsberger』、132-136頁。

[17] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 X(1371)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月15日閲覧。

[18] Weisstein, Eric W.. “Griffiths Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月9日閲覧。

[19] Tabov, Jordan (1995). “Four Collinear Griffiths Points”. Mathematics Magazine 68 (1): 61–64. doi:10.2307/2691382. ISSN 0025-570X. https://www.jstor.org/stable/2691382.

[20] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2”. faculty.evansville.edu. 2024年7月11日閲覧。

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定義

関連する性質