ゼルニケ多項式のうち、初めの21個を示す。 ゼルニケ多項式 (ゼルニケたこうしき、英語 : Zernike polynomials ）とは、単位円 上で定義された直交多項式 である。
とくに光学において軸対称な光学収差を回折理論に基づいて解析的に取り扱う際に用いられる。[ 1] [ 2]
呼称は、位相差顕微鏡 の発明によって1953年にノーベル物理学賞 を受賞した光物理学者フリッツ・ゼルニケ に由来する。
ゼルニケ多項式
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )}
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
=
{
R
n
m
(
ρ
)
cos
(
m
φ
)
m
≥
0
R
n
|
m
|
(
ρ
)
sin
(
|
m
|
φ
)
m
<
0
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )={\begin{cases}R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )&m\geq 0\\R_{n}^{|m|}(\rho )\,\sin(|m|\,\varphi )&m<0\end{cases}}}
により定義される。ここで、 n は非負整数、 m は n ≧ |m | なる整数であり、 ρ は 動径 (0 ≦ ρ ≦ 1)、 φ は偏角である。ゼルニケ多項式は
|
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
|
≤
1
{\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}
R
n
m
(
ρ
)
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}
n − m が偶数の場合、
R
n
m
(
ρ
)
=
∑
k
=
0
n
−
m
2
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
!
k
!
(
n
+
m
2
−
k
)
!
(
n
−
m
2
−
k
)
!
ρ
n
−
2
k
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k}}
また奇数の場合0として定義される。
動径多項式は、二項係数 を用いて、
R
n
m
(
ρ
)
=
∑
k
=
0
n
−
m
2
(
−
1
)
k
(
n
−
k
k
)
(
n
−
2
k
n
−
m
2
−
k
)
ρ
n
−
2
k
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}
と書き表すことができ、これより多項式の係数はすべて整数であることが示される。
ガウスの超幾何関数 を用いて表現することもできる。この表現は、漸化式や微分方程式の導出の他、本多項式がヤコビの多項式の一部であることを示すのに有用である。
R
n
m
(
ρ
)
=
(
n
n
+
m
2
)
ρ
n
2
F
1
(
−
n
+
m
2
,
−
n
−
m
2
;
−
n
;
ρ
−
2
)
=
(
−
1
)
n
−
m
2
(
n
+
m
2
m
)
ρ
m
2
F
1
(
1
+
n
+
m
2
,
−
n
−
m
2
;
1
+
m
;
ρ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}
動径多項式
R
n
m
(
ρ
)
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}
ρ
n
−
2
k
{\displaystyle \rho ^{n-2k}}
バーンスタイン基底関数 を用いて展開できる。 n が偶数の場合は
b
s
,
n
/
2
(
ρ
2
)
{\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}
b
s
,
(
n
−
1
)
/
2
(
ρ
2
)
{\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}
ρ
{\displaystyle \rho }
s は
⌊
n
/
2
⌋
−
k
≤
s
≤
⌊
n
/
2
⌋
{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }
R
n
m
(
ρ
)
=
1
(
⌊
n
/
2
⌋
⌊
m
/
2
⌋
)
ρ
n
mod
2
∑
s
=
⌊
m
/
2
⌋
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
⌊
n
/
2
⌋
−
s
(
s
⌊
m
/
2
⌋
)
(
(
n
+
m
)
/
2
s
+
⌈
m
/
2
⌉
)
b
s
,
⌊
n
/
2
⌋
(
ρ
2
)
.
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}
2つの指数 n ,m を並べて、1つの指数 j に統合する方法として、Noll[ 3]
j
=
n
(
n
+
1
)
2
+
|
m
|
+
{
0
,
m
>
0
∧
n
∈
{
0
,
1
}
(
mod
4
)
;
0
,
m
<
0
∧
n
∈
{
2
,
3
}
(
mod
4
)
;
1
,
m
≥
0
∧
n
∈
{
2
,
3
}
(
mod
4
)
;
1
,
m
≤
0
∧
n
∈
{
0
,
1
}
(
mod
4
)
.
{\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\in \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\in \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\in \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\in \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}
とするものである。初めの20項を下表に示す。
n,m
0,0
1,1
1,−1
2,0
2,−2
2,2
3,−1
3,1
3,−3
3,3
4,0
4,2
4,−2
4,4
4,−4
5,1
5,−1
5,3
5,−3
5,5
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
OSA [ 4] ANSI 標準ゼルニケ多項式は、以下のように定義される。
j
=
n
(
n
+
2
)
+
m
2
{\displaystyle j={\frac {n(n+2)+m}{2}}}
初めの20項を下表に示す。
n,m
0,0
1,-1
1,1
2,-2
2,0
2,2
3,-3
3,-1
3,1
3,3
4,-4
4,-2
4,0
4,2
4,4
5,-5
5,-3
5,-1
5,1
5,3
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
フリンジゼルニケ多項式は、以下のように定義される。
j
=
(
1
+
n
+
|
m
|
2
)
2
−
2
|
m
|
+
1
−
sgn
m
2
{\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|m|}{2}}\right)^{2}-2|m|+{\frac {1-\operatorname {sgn} m}{2}}}
この定義は光学設計ソフトウェアや光学検査で多く用いられる[ 5] [ 6]
n,m
0,0
1,1
1,−1
2,0
2,2
2,-2
3,1
3,-1
4,0
3,3
3,-3
4,2
4,−2
5,1
5,−1
6,0
4,4
4,-4
5,3
5,-3
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
動径部分は以下の直交関係を満たす[ 7]
∫
0
1
ρ
2
n
+
2
R
n
m
(
ρ
)
2
n
′
+
2
R
n
′
m
(
ρ
)
d
ρ
=
δ
n
,
n
′
{\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}}
偏角部分については、初等的な計算により、
∫
0
2
π
cos
(
m
φ
)
cos
(
m
′
φ
)
d
φ
=
ϵ
m
π
δ
|
m
|
,
|
m
′
|
,
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},}
∫
0
2
π
sin
(
m
φ
)
sin
(
m
′
φ
)
d
φ
=
(
−
1
)
m
+
m
′
π
δ
|
m
|
,
|
m
′
|
;
m
≠
0
,
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,}
∫
0
2
π
cos
(
m
φ
)
sin
(
m
′
φ
)
d
φ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0}
ここで
ϵ
m
{\displaystyle \epsilon _{m}}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
∫
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
Z
n
′
m
′
(
ρ
,
φ
)
d
2
r
=
ϵ
m
π
2
n
+
2
δ
n
,
n
′
δ
m
,
m
′
{\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'}}
が導かれる。ここで
d
2
r
=
ρ
d
ρ
d
φ
{\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }
n
−
m
{\displaystyle n-m}
n
′
−
m
′
{\displaystyle n'-m'}
x軸に関する軸対称性より、
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
=
(
−
1
)
m
Z
n
m
(
ρ
,
−
φ
)
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi )}
原点に関する点対称性より、
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
=
(
−
1
)
m
Z
n
m
(
ρ
,
φ
+
π
)
{\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi )}
ここで、
n
−
m
{\displaystyle n-m}
(
−
1
)
m
{\displaystyle (-1)^{m}}
(
−
1
)
n
{\displaystyle (-1)^{n}}
R
n
m
(
ρ
)
=
(
−
1
)
n
R
n
m
(
−
ρ
)
=
(
−
1
)
m
R
n
m
(
−
ρ
)
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho )}
三角関数の周期性より、原点を中心とした m 回回転対称性が生じる。
Z
n
m
(
ρ
,
φ
+
2
π
k
m
)
=
Z
n
m
(
ρ
,
φ
)
,
k
=
0
,
±
1
,
±
2
,
…
{\displaystyle Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }
動径多項式は、以下の漸化式を満たす[ 8]
R
n
m
(
ρ
)
+
R
n
−
2
m
(
ρ
)
=
ρ
[
R
n
−
1
|
m
−
1
|
(
ρ
)
+
R
n
−
1
m
+
1
(
ρ
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}
動径多項式の定義より、
R
m
m
(
ρ
)
=
ρ
m
,
R
m
+
2
m
(
ρ
)
=
(
(
m
+
2
)
ρ
2
−
(
m
+
1
)
)
ρ
m
{\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m},\quad R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}}
[ 9]
R
n
m
(
ρ
)
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}
R
n
m
(
ρ
)
=
2
(
n
−
1
)
(
2
n
(
n
−
2
)
ρ
2
−
m
2
−
n
(
n
−
2
)
)
R
n
−
2
m
(
ρ
)
−
n
(
n
+
m
−
2
)
(
n
−
m
−
2
)
R
n
−
4
m
(
ρ
)
(
n
+
m
)
(
n
−
m
)
(
n
−
2
)
.
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}
この式より、動径多項式の導関数を、2つの動径多項式から計算することができる。
d
d
ρ
R
n
m
(
ρ
)
=
(
2
n
m
(
ρ
2
−
1
)
+
(
n
−
m
)
(
m
+
n
(
2
ρ
2
−
1
)
)
)
R
n
m
(
ρ
)
−
(
n
+
m
)
(
n
−
m
)
R
n
−
2
m
(
ρ
)
2
n
ρ
(
ρ
2
−
1
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}
動径多項式は以下のような式となる。
R
0
0
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}
R
1
1
(
ρ
)
=
ρ
{\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}
R
2
0
(
ρ
)
=
2
ρ
2
−
1
{\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}
R
2
2
(
ρ
)
=
ρ
2
{\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}
R
3
1
(
ρ
)
=
3
ρ
3
−
2
ρ
{\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}
R
3
3
(
ρ
)
=
ρ
3
{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}
R
4
0
(
ρ
)
=
6
ρ
4
−
6
ρ
2
+
1
{\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}
R
4
2
(
ρ
)
=
4
ρ
4
−
3
ρ
2
{\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}
R
4
4
(
ρ
)
=
ρ
4
{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}
R
5
1
(
ρ
)
=
10
ρ
5
−
12
ρ
3
+
3
ρ
{\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}
R
5
3
(
ρ
)
=
5
ρ
5
−
4
ρ
3
{\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}
R
5
5
(
ρ
)
=
ρ
5
{\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}
R
6
0
(
ρ
)
=
20
ρ
6
−
30
ρ
4
+
12
ρ
2
−
1
{\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}
R
6
2
(
ρ
)
=
15
ρ
6
−
20
ρ
4
+
6
ρ
2
{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}
R
6
4
(
ρ
)
=
6
ρ
6
−
5
ρ
4
{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}
R
6
6
(
ρ
)
=
ρ
6
{\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}\,}
ゼルニケ多項式は以下のような式となる。なお、各式は
∫
0
2
π
∫
0
1
Z
j
2
ρ
d
ρ
d
θ
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z_{j}^{2}\,\rho \,d\rho \,d\theta =\pi }
を満たすよう規格化されている。
OSA/ANSI
j
{\displaystyle j}
Noll
j
{\displaystyle j}
Fringe
j
{\displaystyle j}
動径
n
{\displaystyle n}
偏角
m
{\displaystyle m}
Z
j
{\displaystyle Z_{j}}
名称
Z
0
0
{\displaystyle Z_{0}^{0}}
0 00 1
1
0
0 0
1
{\displaystyle 1}
Piston
Z
1
−
1
{\displaystyle Z_{1}^{-1}}
0 10 3
3
1
−1
2
ρ
sin
θ
{\displaystyle 2\rho \sin \theta }
Tilt (Y-Tilt, Vertical tilt)
Z
1
1
{\displaystyle Z_{1}^{1}}
0 20 2
2
1
+1
2
ρ
cos
θ
{\displaystyle 2\rho \cos \theta }
Tip (X-Tilt, Horizontal tilt)
Z
2
−
2
{\displaystyle Z_{2}^{-2}}
0 30 5
6
2
−2
6
ρ
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\theta }
Oblique astigmatism
Z
2
0
{\displaystyle Z_{2}^{0}}
0 40 4
4
2
0 0
3
(
2
ρ
2
−
1
)
{\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}
Defocus
Z
2
2
{\displaystyle Z_{2}^{2}}
0 50 6
5
2
+2
6
ρ
2
cos
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\theta }
Vertical astigmatism
Z
3
−
3
{\displaystyle Z_{3}^{-3}}
0 60 911
3
−3
8
ρ
3
sin
3
θ
{\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\theta }
Vertical trefoil
Z
3
−
1
{\displaystyle Z_{3}^{-1}}
0 70 78
3
−1
8
(
3
ρ
3
−
2
ρ
)
sin
θ
{\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \theta }
Vertical coma
Z
3
1
{\displaystyle Z_{3}^{1}}
0 80 87
3
+1
8
(
3
ρ
3
−
2
ρ
)
cos
θ
{\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \theta }
Horizontal coma
Z
3
3
{\displaystyle Z_{3}^{3}}
0 910
10
3
+3
8
ρ
3
cos
3
θ
{\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\theta }
Oblique trefoil
Z
4
−
4
{\displaystyle Z_{4}^{-4}}
10
15
18
4
−4
10
ρ
4
sin
4
θ
{\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\theta }
Oblique quadrafoil
Z
4
−
2
{\displaystyle Z_{4}^{-2}}
11
13
13
4
−2
10
(
4
ρ
4
−
3
ρ
2
)
sin
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\theta }
Oblique secondary astigmatism
Z
4
0
{\displaystyle Z_{4}^{0}}
12
11
9
4
0 0
5
(
6
ρ
4
−
6
ρ
2
+
1
)
{\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}
Primary spherical
Z
4
2
{\displaystyle Z_{4}^{2}}
13
12
12
4
+2
10
(
4
ρ
4
−
3
ρ
2
)
cos
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\theta }
Vertical secondary astigmatism
Z
4
4
{\displaystyle Z_{4}^{4}}
14
14
17
4
+4
10
ρ
4
cos
4
θ
{\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\theta }
Vertical quadrafoil
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Zernike, F. (1934). “Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode”. Physica 1 (8): 689–704. Bibcode : 1934Phy.....1..689Z . doi :10.1016/S0031-8914(34)80259-5 .
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![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e52f5c15b60ada4039f0e8586b2269e57368c2)
