スターク予想

数論において、スターク予想（英: Stark conjectures）とは、代数体のガロア拡大 $K / k$ に付随するアルティン $L$ 函数のテイラー展開の主要項の係数についての予想である。スターク予想はハロルド・スターク（英語版）が Stark (1971, 1975, 1976, 1980)で提示し、後日 Tate (1984)が拡張した。スターク予想は、数体のデデキントのゼータ函数のテイラー展開の主要項を表す解析的類数公式を一般化して、体の $S$ 単数（英語版）（S-units）に関連する単数基準と有理数との積として表すものである。スタークは $K / k$ がアーベル拡大で、 $L$ 函数の $s = 0$ における位数が 1 の場合について予想を精密化し、スターク単数（英語版）と呼ばれる $S$ 単数の存在を予想した。 Rubin (1996) とクリスティアン・ディミトルゥ・ポペスク（英語版）は、この精密化された予想をさらに高次の位数へ拡張した。

定式化

スターク予想の最も一般的な形式は、「アルティン $L$ 函数 $L (s, χ)$ の $s = 0$ でのテイラー展開の先頭係数 $C S (χ)$ は、スターク単数基準 $R S (χ, f)$ の代数的数 $A S (χ, f)$ 倍であり、この代数的数へのガロア群の作用もこういった数字を用いて書き下すことができる」という予想である。体の拡大がアーベル的で、 $L$ 函数の $s = 0$ における位数が 1 のとき、精密化されたスターク予想は、根が基礎体 $k$ のアーベル拡大となる $K$ のクンマー拡大を生成するスターク単数の存在を予想する（ $K$ がアーベル拡大でない場合は、クンマー理論で拡大する）。このスターク予想の精密化には、ヒルベルトの第12問題を解くという理論的な意味がある。また、特別な場合にはスターク単数の計算が可能であるため、精密化されたスターク予想の信憑性の評価が可能であるほか、代数体のアーベル拡大を生成する重要な計算機的方法が得られる。実際、代数体のアーベル拡大を計算する標準的なアルゴリズムには、拡大を生成するスターク単数の生成操作を含むものがある（後述）。

記号と用語

スターク予想を正確に述べるための記号を準備する。 $k$ を（有限次）代数体、 $K$ を $k$ の有限次ガロア拡大、 $G$ をそのガロア群とする。 $S \infty$ を $k$ の無限素点すべての集合、 $S$ を $S \infty$ を含む素点の集合とする。

複素数体 $C$ の部分環 $A$ と $Z$ 加群 $M$ に対してテンソル積 $A \otimes Z M$ を $A M$ と略記する^[1]。

アルティン $L$ 函数の先頭係数 $C S (χ)$

ガロア群 $G$ の複素数体上の有限次表現を一つ取り、 $V$ をその表現空間、 $χ$ をその指標とする。（ $S$ 部分を除外した）アルティン $L$ 函数を

L_{S}(s,\chi )=\prod _{{\mathfrak {p}}\notin S}\mathrm {det} \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}N{\mathfrak {p}}^{-s}\mid _{V^{I{\mathfrak {p}}}}\right)^{-1}

と定義する^[2]。ここで、有限素点 $𝔭$ に対し $I 𝔭 \subset G$ は $𝔭$ の惰性群、 $V I 𝔭$ はこれによる不変部分空間、 $Frob 𝔭 \in G$ は $𝔭$ のフロベニウス元（の一つ）、 $N𝔭$ は $𝔭$ の絶対ノルム（英語版）である。この函数は有理型に解析接続され、 $s = 0$ で正則になる。

この $L$ 函数の $s = 0$ でのテイラー展開の先頭係数を $C S (χ)$ と書く。つまり、 $s = 0$ でのこの函数の位数を $r S (χ)$ とするとき、 $s = 0$ の近傍で

L_{S}(s,\chi )=C_{S}(\chi )s^{r_{S}(\chi )}+O(s^{r_{S}(\chi )+1})

が成り立つような複素数として $C S (χ)$ を定義する（ $O$ はランダウの記号）。

スターク単数基準 $R S (χ, f)$

$S K$ を $K$ の素点で下にある素点が $S$ に含まれるものすべての集合とする。 $U = U K, S$ を $K$ の $S K$ 単数群、つまり $K \times$ の元で $S K$ に含まれない $K$ のすべての素点での絶対値が1であるもの全体

U:=U_{K,S}:=\left\{x\in K^{\times }\mid |x|_{w}=1,\forall w\notin S_{K}\right\}

とする^[3]。

$Y$ を $S K$ の元で生成される自由アーベル群、 $X$ をその部分群で各 $w \in S K$ に対する係数を合計すると0になるもの全体

\textstyle {X:=\left\{\sum _{w\in S_{K}}n_{w}\cdot w\in Y\mid \sum _{w\in S_{K}}n_{w}=0\right\}}

とする^[4]。 $X$ には自然に $G$ が作用する。

$S K$ 単数群 $U$ から $R X$ への写像 $λ$ を

\textstyle {\lambda (u):=\sum _{w\in S_{K}}\log |u|_{w}\otimes w}

で定義する。この写像を対数的埋め込みという^[3]。

単数定理により $id C \otimes λ : C U \to C X$ は同型であり、 $Q U$ と $Q X$ は $Q [G]$ 加群として（非標準的に）同型であることがわかる。このような同型

f:\mathbb {Q} X\to \mathbb {Q} U

を一つ取る。 $V *$ を $V$ の反傾表現とし、 $V *$ から $C X$ への $C [G]$ 加群としての準同型全体 $Hom C [G] (V *, C [G])$ を考える。このベクトル空間の次元は $r S (χ)$ と等しい。

このベクトル空間の自己同型 $(λ \circ f) V$ を

{\begin{array}{ccc}\mathrm {Hom} _{\mathbb {C} [G]}(V^{*},\mathbb {C} X)&\xrightarrow {(\lambda \circ f)_{V}} &\mathrm {Hom} _{\mathbb {C} [G]}(V^{*},\mathbb {C} X)\\\phi &\longmapsto &\lambda \circ f\circ \phi \end{array}}

で定義する。この自己同型の行列式

R_{S}(\chi ,f):=\det(\lambda \circ f)_{V}

をスターク単数基準（Stark regulator）という。