ノート:スターク予想

Maninの提案について

Maninの教科書 "Introduction to Modern Number Theory" には、本記事の最後の部分の非可換幾何とStark conjecture の関係についての論文が2つ紹介されている．

• "Von Zahlen und Figuren" http://arxiv.org/pdf/math/0201005.pdf
• "Real Multiplication and noncommutative geometry" http://arxiv.org/pdf/math/0202109.pdf

総実体の場合は、虚数乗法に類似する方法は知られていないが、Stark予想は総実体についても類似する方法はあるはずであることを強く示唆しているとしている．--Enyokoyama（会話） 2014年3月14日 (金) 15:15 (UTC)

予想の動機と経緯について

円分体の例という一番の元となる簡単なものでよいので、例をつける必要があるように思う．

$1-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\ -\ -\ +\cdots ={\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{\sqrt {2}}}$

これが非自明な指標$\chi :(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }$のL-函数である．これが何故、深い結果をもたらすのかというような内容の、、、--Enyokoyama（会話） 2014年3月29日 (土) 16:00 (UTC)

ヒルベルトの第12問題のノート欄にも記載したが、Hilbert第12問題へのHeckeのアプローチにStark予想の源があるようである．新谷先生の｢数学｣の記事の冒頭部分を紹介する．

代数体 k のL-函数の s=1 における値 L_k(s,χ) について考察すると、体 k の適当な可換拡大体の単数の対数たちの初等的係数の斉次形式としてあらわされるであろうというのが、Stark予想

定式化すると、

予想(H. M. Stark)　$L_{k}(1,\chi )/\pi ^{r_{2}+\alpha (\chi )}$ は，k の導手とする可換拡大体の単数の対数達の，初等的代数的数を係数とする，b(χ)+r₂ 次の斉次形式となるであろう．

とあり、クロネッカーの極限公式と関係してくる．--Enyokoyama（会話） 2014年4月7日 (月) 02:41 (UTC)