ケルビン・ストークスの定理 （ケルビン・ストークスのていり、英 : Kelvin–Stokes' theorem ）
[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] ベクトル場 の2次元曲面上での面積分 に関する定理であり、本定理は、与えられたベクトル場の回転を面積分したものと、前記面積分の積分領域の境界での線積分とを関連付ける。
本定理は、一般化されたストークスの定理 の特殊なケースの一つであり、3次元ベクトル場が、
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
本定理は、回転定理 ともいわれる。
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to {\mathbb {R} }^{2}}
区分的になめらか な平面曲線 であり、かつ単純閉曲線（ジョルダン曲線 ）とする。即ち、
γ
{\displaystyle \gamma }
t
{\displaystyle t}
s
{\displaystyle s}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
γ
(
s
)
=
γ
(
t
)
{\displaystyle \,\ \gamma (s)=\gamma (t)}
t
=
s
{\displaystyle t=s}
γ
(
a
)
=
γ
(
b
)
{\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
R
2
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
γ
{\displaystyle \gamma }
[ note 1]
ψ
:
D
→
R
3
{\displaystyle \psi :\mathbb {D} \to {\mathbb {R} }^{3}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
ψ
{\displaystyle \psi }
像集合 とする.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
(
t
)
=
ψ
(
γ
(
t
)
)
{\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}
[ note 2]
このとき、次のケルビン・ストークスの定理 が成り立つ。ここで、
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R n )は、n次元実数ベクトル空間 を意味する。
主定理の証明は、以下のステップで行われる[ 2] [ 3] [ note 3] 微分形式 の予備知識を必要としない証明である。本証明では、グリーンの定理 （本定理の平面曲線版）は既知とし、空間曲線における数理現象を平面曲線の問題に帰着する過程に重きを置く。
(1)
P
(
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {P} (u,v)}
P
(
u
,
v
)
=
(
P
1
(
u
,
v
)
,
P
2
(
u
,
v
)
)
{\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=({P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v))}
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
F
{\displaystyle {\textbf {F}}}
P
(
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {P} (u,v)}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
u , v を持つ。
(2)以下の等式の証明：
∮
Γ
F
d
Γ
=
∮
γ
(
F
∘
ψ
)
d
γ
{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
(3)以下の等式の証明：
∬
S
∇
×
F
d
S
=
∬
D
(
∂
P
2
∂
u
−
∂
P
1
∂
v
)
d
u
d
v
{\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \ d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
(4)グリーンの定理への帰着：
最後に、本定理をグリーンの定理に帰着する。
P
{\displaystyle {\textbf {P}}}
P
1
(
u
,
v
)
,
P
2
(
u
,
v
)
{\displaystyle {P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v)}
P
{\displaystyle {\textbf {P}}}
P
1
(
u
,
v
)
=
⟨
F
(
ψ
(
u
,
v
)
)
|
(
∂
ψ
∂
u
)
⟩
P
2
(
u
,
v
)
=
⟨
F
(
ψ
(
u
,
v
)
)
|
(
∂
ψ
∂
v
)
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&{P}_{1}(u,v)=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v))|\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)\right\rangle \\&{P}_{2}(u,v)=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v))|\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)\right\rangle \end{aligned}}}
ここで、
⟨
|
⟩
{\displaystyle \left\langle |\right\rangle }
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
内積 を意味する。
本節では以下の等式を示す。
∮
Γ
F
d
Γ
=
∮
γ
(
F
∘
ψ
)
d
γ
{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
上記の等式の証明は、主定理の左辺をグリーンの定理に帰着する過程に他ならない。
線積分 の定義より、以下が成り立つ。
∮
Γ
F
d
Γ
=
∫
a
b
⟨
(
F
∘
c
(
t
)
)
|
d
Γ
d
t
(
t
)
⟩
d
t
{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\int }_{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ c(t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt}
ここで、上式左辺の被積分関数は
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
t についての一変数関数であることに注意されたい。
合成関数の微分を考えると、
d
Γ
d
t
(
t
)
=
d
(
ψ
∘
γ
)
d
t
(
t
)
=
(
J
ψ
)
γ
(
t
)
⋅
d
γ
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)={\frac {d(\psi \circ \gamma )}{dt}}(t)={(J\psi )}_{\gamma (t)}\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(t)}
が成り立つ。ここで、
J
ψ
{\displaystyle J\psi }
ψ
{\displaystyle \psi }
ヤコビ行列 を意味する。
従って、以下が成り立つ。
⟨
(
F
∘
Γ
(
t
)
)
|
d
Γ
d
t
(
t
)
⟩
=
⟨
(
F
∘
Γ
(
t
)
)
|
(
J
ψ
)
γ
(
t
)
d
γ
d
t
(
t
)
⟩
=
⟨
(
F
∘
Γ
(
t
)
)
|
(
J
ψ
)
γ
(
t
)
|
d
γ
d
t
(
t
)
⟩
=
⟨
(
⟨
(
F
(
ψ
(
γ
(
t
)
)
)
)
|
∂
ψ
∂
u
(
γ
(
t
)
)
⟩
,
⟨
(
F
(
ψ
(
γ
(
t
)
)
)
)
|
∂
ψ
∂
v
(
γ
(
t
)
)
⟩
)
|
d
γ
d
t
(
t
)
⟩
=
⟨
(
P
1
(
u
,
v
)
,
P
2
(
u
,
v
)
)
|
d
γ
d
t
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle &=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {(J\psi )}_{\gamma (t)}{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |{(J\psi )}_{\gamma (t)}|\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle \left(\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(\gamma (t))\right\rangle ,\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(\gamma (t))\right\rangle \right)|{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle ({P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v))\ |\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \end{aligned}}}
従って、以下の等式を得る。
∮
Γ
F
d
Γ
=
∮
γ
(
F
∘
ψ
)
d
γ
{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
本節では、以下の等式を示す。
∬
S
∇
×
F
d
S
=
∬
D
(
∂
P
2
∂
u
−
∂
P
1
∂
v
)
d
u
d
v
{\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
上式は、主定理の右辺を、グリーンの定理に帰着する過程に他ならない。
まず、
∂
P
1
∂
v
{\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}}
∂
P
2
∂
u
{\displaystyle {\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}}
∂
P
1
∂
v
=
⟨
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
v
|
∂
ψ
∂
u
⟩
+
⟨
F
∘
ψ
|
∂
2
ψ
∂
v
∂
u
⟩
∂
P
2
∂
u
=
⟨
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
u
|
∂
ψ
∂
v
⟩
+
⟨
F
∘
ψ
|
∂
2
ψ
∂
u
∂
v
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial v\partial u}}\right\rangle \\&{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle +\left\langle \mathbf {F} \circ \psi \ |\ {\frac {{\partial }^{2}\psi }{\partial u\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}}
従って、
∂
P
1
∂
v
−
∂
P
2
∂
u
=
⟨
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
v
|
∂
ψ
∂
u
⟩
−
⟨
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
u
|
∂
ψ
∂
v
⟩
{\displaystyle {\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}=\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle }
が分かる。さらに、合成関数の微分を考慮すると、以下の2つの式が得られる。
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
u
=
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
⋅
∂
ψ
∂
u
∂
(
F
∘
ψ
)
∂
v
=
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
⋅
∂
ψ
∂
v
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial u}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\\&{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ \psi )}{\partial v}}={(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\end{aligned}}}
さらに、内積の多重線形性を考慮すると[ note 4]
∂
P
1
∂
v
−
∂
P
2
∂
u
=
⟨
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
⋅
∂
ψ
∂
v
|
∂
ψ
∂
u
⟩
−
⟨
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
⋅
∂
ψ
∂
u
|
∂
ψ
∂
v
⟩
=
⟨
∂
ψ
∂
u
|
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
|
∂
ψ
∂
v
⟩
−
⟨
∂
ψ
∂
u
|
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
|
∂
ψ
∂
v
⟩
=
⟨
∂
ψ
∂
u
|
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
−
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
|
∂
ψ
∂
v
⟩
=
⟨
∂
ψ
∂
u
|
(
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
−
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
)
⋅
∂
ψ
∂
v
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right\rangle -\left\langle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle -\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}|{\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\cdot {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \end{aligned}}}
ここで、
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
{\displaystyle {}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}}
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
{\displaystyle {(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}}
転置行列 を意味し、
⟨
|
A
|
⟩
{\displaystyle \langle \ |A|\ \rangle }
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
A が定める二次形式 、即ち
⟨
x
|
A
|
y
⟩
=
t
x
A
y
,
x
∈
R
m
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \left\langle \mathbf {x} |A|\mathbf {y} \right\rangle ={}^{t}\mathbf {x} A\mathbf {y} ,\quad \mathbf {x} \in {\mathbb {R} }^{m}\ ,\mathbf {y} \in {\mathbb {R} }^{n}}
を意味する。
さらに、以下の事実を考慮し、
[ note 5]
(
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
−
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
)
x
=
(
∇
×
F
)
×
x
,
for all
x
∈
R
3
{\displaystyle ({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}
さらに、スカラー三重積 を考慮すると、以下の等式を得る。
∂
P
1
∂
v
−
∂
P
2
∂
u
=
⟨
∂
ψ
∂
u
|
(
∇
×
F
)
×
∂
ψ
∂
v
⟩
=
det
[
(
∇
×
F
)
(
ψ
(
u
,
v
)
)
∂
ψ
∂
u
(
u
,
v
)
∂
ψ
∂
v
(
u
,
v
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}-{\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}&=\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial u}}\ |(\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right\rangle \\&=\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))&{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
一方で、面積分の定義から
∬
S
(
∇
×
F
)
d
S
=
∬
D
⟨
(
(
∇
×
F
)
(
ψ
(
u
,
v
)
)
|
∂
ψ
∂
u
(
u
,
v
)
×
∂
ψ
∂
v
(
u
,
v
)
⟩
d
u
d
v
{\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle dudv}
が成り立つ。さらにスカラー三重積 を考慮すると、以下を得る．
⟨
(
(
∇
×
F
)
(
ψ
(
u
,
v
)
)
)
|
∂
ψ
∂
u
(
u
,
v
)
×
∂
ψ
∂
v
(
u
,
v
)
⟩
=
det
[
(
∇
×
F
)
(
ψ
(
u
,
v
)
)
)
∂
ψ
∂
u
(
u
,
v
)
∂
ψ
∂
v
(
u
,
v
)
]
{\displaystyle \left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle =\det {\begin{bmatrix}(\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v)))&{\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)&{\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\\\end{bmatrix}}}
従って、以下の等式が成り立つ。
∬
S
(
∇
×
F
)
d
S
=
∬
D
(
∂
P
2
∂
u
−
∂
P
1
∂
v
)
d
u
d
v
{\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
主定理の証明の最終段階である。
Second stepの結果と、Third stepの結果をグリーンの定理 に代入すると、主定理が得られる。
本節では 層状ベクトル場 （保存力 場)に本定理を適用し、スカラーポテンシャルの一意性を基礎づける定理を導く。
一変数の規格化写像
θ
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}}
θ
[
a
,
b
]
:
[
0
,
1
]
→
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}:[0,1]\to [a,b]}
θ
[
a
,
b
]
=
s
(
b
−
a
)
+
a
{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}=s(b-a)+a}
区分的になめらかな曲線
c:[a,b]→R3 ,
と、区分的に滑らかなベクトル場Fを考える。
Fの定義域は、
c
[
[
a
,
b
]
]
{\displaystyle c[[a,b]]}
このとき、以下の等式が成り立つ。
∫
c
F
d
c
=
∫
c
∘
θ
[
a
,
b
]
F
d
(
c
∘
θ
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle \int _{c}\mathbf {F} \ dc\ =\int _{c\circ {\theta }_{[a,b]}}\ \mathbf {F} \ d(c\circ {\theta }_{[a,b]})}
従って、定義域が[0,1]のcのみを考えても、一般性を失わないことが判る。
以降、そのように考える。
Definition 2-1 (層状ベクトル場).
滑らかなベクトル場F が 開集合 U ⊆ R 3 上で定義されているものとする。
F' が、さらに以下の性質を満たすとき、これを層状ベクトル場という。
∇ × F = 0.
層状ベクトル場は、力学では「保存力場」と呼ばれ。流体力学では、
「渦なしベクトル場」と呼ばれる。すなわち、上記の3用語はまったく同じ意味である。
本節では、ケルビンストークスの定理を、層状ベクトル場に適応することで、一つの定理を導き出す。この定理は、流体力学でヘルムホルツの定理[ note 6] ホモトピー論 においても重要なものである[ 6]
Theorem 2-1 (Helmholtz's Theorem in Fluid Dynamics). [ 6] [ 8] U ⊆ R 3 を開集合とし、 F は、層状ベクトル場とする。
さらに、区分的滑らかな曲線c 0 , c 1 : [0, 1] → U
を考える。このとき2変数関数 H : [0, 1] × [0, 1] → U が、
[TLH0] H 区分的になめらか[TLH1] H (t , 0) = c 0 (t ) for all t ∈ [0, 1],[TLH2] H (t , 1) = c 1 (t ) for all t ∈ [0, 1],[TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) for all s ∈ [0, 1].であるとき、以下が成り立つ。
∫
c
0
F
d
c
0
=
∫
c
1
F
d
c
1
{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} d{c}_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} dc_{1}}
大変紛らわしいことに、例えばLawrence[ 6] c 0 と c 1 のような関係にあるような2曲線の関係は単に「ホモトピック」と呼ばれている。また、Theorem 2-1のような H : [0, 1] × [0, 1] → U を、
c 0 と c 1 ”の間のホモトピーと称している。
保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。
しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味（より弱い条件のものを指す）
で使われる。[ note 7]
従って、ホモトピー、ホモトピックという言葉が、Theorem 2-1の意味（[TLH3] を要請する）なのか、通常の意味なのかを区別する適切な言い方が、見当たらない。そこで、当座において区別を必要とする場合には、本記事に限った言い方として、Tube-like-Homotopy Tube-Homotope という言い方を、Theorem 2-1の意味であることを強調するために用いることにする。[ note 8]
The definitions of γ1 , ..., γ4 以降、 ⊕ は、jointを意味し、記号
⊖
{\displaystyle \ominus }
[ note 9] [ note 10]
D := [0, 1] × [0, 1] とする。D への平面曲線（バウンダリ）を、以下のように定義する。
{
γ
1
:
[
0
,
1
]
→
D
γ
1
(
t
)
:=
(
t
,
0
)
,
{
γ
2
:
[
0
,
1
]
→
D
γ
2
(
s
)
:=
(
1
,
s
)
{
γ
3
:
[
0
,
1
]
→
D
γ
3
(
t
)
:=
(
−
t
+
0
+
1
,
1
)
,
{
γ
4
:
[
0
,
1
]
→
D
γ
4
(
s
)
:=
(
0
,
1
−
s
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\gamma _{1}:[0,1]\to D\\\gamma _{1}(t):=(t,0)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{2}:[0,1]\to D\\\gamma _{2}(s):=(1,s)\end{cases}}\\{\begin{cases}\gamma _{3}:[0,1]\to D\\\gamma _{3}(t):=(-t+0+1,1)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{4}:[0,1]\to D\\\gamma _{4}(s):=(0,1-s)\end{cases}}\end{aligned}}}
γ
(
t
)
:=
(
γ
1
⊕
γ
2
⊕
γ
3
⊕
γ
4
)
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t):=(\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4})(t)}
一方、仮定より, c 1 と c 2 の間には、区分的に滑らかな、Tube-like-Homotopy[ note 8] H : D → M が存在するので、
Γ
i
(
t
)
:=
H
(
γ
i
(
t
)
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle \Gamma _{i}(t):=H(\gamma _{i}(t)),\qquad i=1,2,3,4}
Γ
(
t
)
:=
H
(
γ
(
t
)
)
=
(
Γ
1
⊕
Γ
2
⊕
Γ
3
⊕
Γ
4
)
(
t
)
{\displaystyle \Gamma (t):=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)}
と定義する。
S を D の H による像集合とすると、Theorem 1より、明らかに以下が成り立つ。
∮
Γ
F
d
Γ
=
∬
S
∇
×
F
d
S
{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,dS}
他方、F が層状ベクトル場との仮定から、
∮
Γ
F
d
Γ
=
0
{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =0}
も明白である。
従って、
∮
Γ
F
d
Γ
=
∑
i
=
1
4
∮
Γ
i
F
d
Γ
{\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} d\Gamma }
[ note 9] であるのだが、さらにHが Tubeler-Homotopy ([TLH3]をみたす)ので、
Γ
2
(
s
)
=
Γ
4
(
1
−
s
)
=
⊖
Γ
4
(
s
)
{\displaystyle \Gamma _{2}(s)={\Gamma }_{4}(1-s)=\ominus {\Gamma }_{4}(s)}
である。従って、
Γ
2
(
s
)
{\displaystyle \Gamma _{2}(s)}
Γ
4
(
s
)
{\displaystyle \Gamma _{4}(s)}
[ note 10] ことになる。
以上から、以下が判る。
∮
Γ
1
F
d
Γ
+
∮
Γ
3
F
d
Γ
=
0
{\displaystyle \oint _{{\Gamma }_{1}}\mathbf {F} d\Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} d\Gamma =0}
これに、以下の事実を考え合わせることで、本定理の証明ができた。
c
1
(
t
)
=
H
(
t
,
0
)
=
H
(
γ
1
(
t
)
)
=
Γ
1
(
t
)
{\displaystyle c_{1}(t)=H(t,0)=H({\gamma }_{1}(t))={\Gamma }_{1}(t)}
c
2
(
t
)
=
H
(
t
,
1
)
=
H
(
⊖
γ
3
(
t
)
)
=
⊖
Γ
3
(
t
)
{\displaystyle c_{2}(t)=H(t,1)=H(\ominus {\gamma }_{3}(t))=\ominus {\Gamma }_{3}(t)}
上記の意味のヘルムホルツの定理は、以下の問題に指針を与える。
何故、（単連結空間では）保存力場に逆らった物体の移動に伴う仕事は、経路に依存しないのか？ 手始めに、以下の Lemma 2-2を考える。
Lemma 2-2. [ 6] [ 5] U ⊆ R 3 を開集合とし,
F を、U 上で定義された層状ベクトル場、
c 0 : [0, 1] → U を区分的に滑らかなループ曲線
p ∈ U を固定点とする。 このとき、以下を充たすようなホモトピー(tube-like-homotopy)
H : [0, 1] × [0, 1] → U が存在したとすると、
[SC0] H は区分的滑らか,[SC1] H (t , 0) = c 0 (t ) for all t ∈ [0, 1],[SC2] H (t , 1) = p for all t ∈ [0, 1],[SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p for all s ∈ [0, 1].以下が成り立つ。
∫
c
0
F
d
c
0
=
0
{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} dc_{0}=0}
Lemma 2-2は、Theorem 2-1の特殊な場合にすぎない。
Lemma 2-2の[SC0] to [SC3] は、非常に重要である。
任意のループと、任意の固定点との間に、区分的に滑らかなループ曲線
が取れる(即ち、[SC0] to [SC3]をみたすHがとれる)
ような連結空間のことを、単連結 空間という。正確な定義は以下の通り。
Definition 2-2 (単連結空間).
[ 6] [ 5] M ⊆ R n 連結空間 とする。
M が単連結であるとは、
任意の連続なループc : [0, 1] → M に対し、以下を充たすような
H : [0, 1] × [0, 1] → M が取れる。
[SC0'] H は”連続”写像である。[SC1] H (t , 0) = c (t ) for all t ∈ [0, 1],[SC2] H (t , 1) = p for all t ∈ [0, 1],[SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p for all s ∈ [0, 1].
なお、本によっては、単連結性の定義に、さらに、「[SC4]固定点p が、ループ上にある」という条件をさらに課している場合もあるがこの条件は、（基本群を使った考察をするうえで便利だが）あってもなくてもよい。すなわち、以下の命題が同値であることは容易に想到できよう。
Uが[SC1]-[SC3]のすべてを充たす。
Uが[SC1]-[SC4] のすべてを充たす。 さて、賢明な者は、[SC0]と[SC0’]の違いについて気付き、以下の2命題の間に、非常に大きなギャップがあることに気付くであろう。
任意の連続なループと、任意の1点の間に連続なホモトピー(tube-like-homotopy)が存在する。
任意の区分的滑らかなループと、任意の1点の間に区分的滑らかなホモトピー(tube-like-homotopy)が存在する。 しかし上記の2命題の間のギャップはとてつもなく大きく、これを埋めるには微分トポロジー に関する高度な知識が必要となる。しかし、事実として、ある程度素性の良い空間においては、この2つの命題は等価である。このギャップが気になるものは、例えば以下のリソースを参照するとよい。
Lemma 2-2と、上記の事実から、以下の定理が導出される。
Theorem 2-2. [ 6] [ 5] U ⊆ R 3 は、単連結とする。定義域をU とする
層状ベクトル場F と、区分的に滑らかな曲線
c : [0, 1] → U に対し、以下が成り立つ。
∫
c
0
F
d
c
0
=
0
{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} dc_{0}=0}
この定理より、
単連結空間では保存力場に逆らった物体の移動に伴う仕事は、経路に依存しないことが保障される。
^ ジョルダンの閉曲線定理 によると、ジョルダン曲線は
R
3
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}
コンパクト集合 で、もう一つはコンパクトではない。^
γ
{\displaystyle \gamma }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
^ 微分形式 を知る者は、以下の事実を想到するであろう。即ち、
A
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
{\displaystyle \mathbf {A} =({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3})}
A
=
i
d
1
ω
A
=
a
1
d
x
1
+
a
2
d
x
2
+
a
3
d
x
3
{\displaystyle \mathbf {A} {\stackrel {id1}{=}}\ \mathbf {\omega } _{\mathbf {A} }\ ={a}_{1}d{x}_{1}+{a}_{2}d{x}_{2}+{a}_{3}d{x}_{3}}
A
=
i
d
2
∗
ω
A
=
a
1
d
x
2
∧
d
x
3
+
a
2
d
x
3
∧
d
x
1
+
a
3
d
x
1
∧
d
x
2
{\displaystyle \mathbf {A} {\stackrel {id2}{=}}\ {}^{*}\mathbf {\omega } _{\mathbf {A} }={a}_{1}d{x}_{2}\wedge d{x}_{3}+{a}_{2}d{x}_{3}\wedge d{x}_{1}+{a}_{3}d{x}_{1}\wedge d{x}_{2}}
ω
F
{\displaystyle \mathbf {\omega } _{\mathbf {F} }}
引き戻し による証明と等価である。実際、
∇
×
F
=
i
d
2
d
ω
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} {\stackrel {id2}{=}}\ d\mathbf {\omega } _{\mathbf {F} }}
ψ
∗
(
d
ω
F
)
=
(
∂
P
2
∂
u
−
∂
P
1
∂
v
)
d
u
∧
d
v
{\displaystyle {\psi }^{*}(d\mathbf {\omega } _{\mathbf {F} })=({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}})du\wedge dv}
微分形式 の外微分 であり、上記の
P
1
{\displaystyle {P}_{1}}
P
2
{\displaystyle {P}_{2}}
P
1
{\displaystyle {P}_{1}}
P
2
{\displaystyle {P}_{2}}
^ 一般に、
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
m 次元ベクトル、
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
n 次元ベクトルで、A がm ×n 行列であるとき、以下が成り立つ。
⟨
x
|
A
|
y
⟩
=
⟨
y
|
t
A
|
x
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\ A\ |\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {y} |\ {}^{t}A\ |\mathbf {x} \rangle }
⟨
x
|
A
|
y
⟩
+
⟨
x
|
B
|
y
⟩
=
⟨
x
|
A
+
B
|
y
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\ A\ |\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {x} |\ B\ |\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} |A+B|\mathbf {y} \rangle }
^
等式
(
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
−
t
(
J
F
)
ψ
(
u
,
v
)
)
x
=
(
∇
×
F
)
×
x
,
for all
x
∈
R
3
{\displaystyle ({(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)}-{}^{t}{(J\mathbf {F} )}_{\psi (u,v)})\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}
a ×"の表現行列）を求める
(例えば[1] あるいは、
「Eric Lengyel(著) "Mathematics for 3d Game Programming and Computer Graphics (Game Development Series)"
Charles River Media (2003/11)」を参照)。
3次元実数ベクトルa ,x が以下のように表されるとすると、
a
=
(
a
1
a
2
a
3
)
x
=
(
x
1
x
2
x
3
)
{\displaystyle \mathbf {a} =\left({\begin{array}{l}{a}_{1}\\{a}_{2}\\{a}_{3}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {x} =\left({\begin{array}{l}{x}_{1}\\{x}_{2}\\{x}_{3}\end{array}}\right)}
a ×x は、
a
×
x
=
(
a
2
x
3
−
a
3
x
2
a
3
x
1
−
a
1
x
3
a
1
x
2
−
a
2
x
1
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {x} =\left({\begin{array}{l}{a}_{2}{x}_{3}-{a}_{3}{x}_{2}\\{a}_{3}{x}_{1}-{a}_{1}{x}_{3}\\{a}_{1}{x}_{2}-{a}_{2}{x}_{1}\end{array}}\right)}
a
×
e
1
=
(
0
a
3
−
a
2
)
a
×
e
2
=
(
−
a
3
0
a
1
)
a
×
e
3
=
(
a
2
−
a
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}0\\{a}_{3}\\-{a}_{2}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}-{a}_{3}\\0\\{a}_{1}\end{array}}\right)\ \ \mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}=\left({\begin{array}{c}{a}_{2}\\-{a}_{1}\\0\end{array}}\right)}
a
×
x
=
(
0
−
a
3
a
2
a
3
0
−
a
1
−
a
2
a
1
0
)
(
x
1
x
2
x
3
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {x} =\left({\begin{array}{ccc}0&-{a}_{3}&{a}_{2}\\{a}_{3}&0&-{a}_{1}\\-{a}_{2}&{a}_{1}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}{x}_{1}\\{x}_{2}\\{x}_{3}\end{array}}\right)}
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=({a}_{ij})}
a に以下の代入操作をすると、
a
1
=
a
32
−
a
23
{\displaystyle {a}_{1}={a}_{32}-{a}_{23}}
a
2
=
a
13
−
a
31
{\displaystyle {a}_{2}={a}_{13}-{a}_{31}}
a
3
=
a
21
−
a
12
{\displaystyle {a}_{3}={a}_{21}-{a}_{12}}
(
A
−
t
A
)
x
=
a
×
x
{\displaystyle (A-{}^{t}A)\mathbf {x} =\mathbf {a} \times \mathbf {x} }
J
F
{\displaystyle J\mathbf {F} }
a
=
(
∇
×
F
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(\nabla \times \mathbf {F} )}
^ 一般的にヘルムホルツの定理 と言われている定理(電磁気学などでよく使われる)とは別物である。
^
Definition (普通の意味でのHomotopy and Homotope).
Z と W を位相空間とし、 f 0 , f 1 : Z → W とする。このとき、
(1) 連続写像 H : Z × [0, 1] → W が、 f 0 と f 1 " の間のホモトピーであるとは、以下が成り立つことを意味する。
[H1] H (t , 0) = f 0 (t ) for all t ∈ Z ,
[H2] H (t , 1) = f 1 (t ) for all t ∈ Z . (2) f 0 と f 1 "の間にホモトピーが存在する（構築できる）とき、
f 0 と f 1 " はホモトピックであるという。
(3) f 0 と f 1 が ホモトピックで 、 H がこれらの間のホモトピーであるとしたとき、特に、f 0 , f 1 , H のすべてが区分的滑らかであるとき、「H は、f 0 , f 1 の間の区分的滑らかなホモトピー」という。
^ a b
本文でも述べたように、例えば、
"Differentiable Manifolds (Modern Birkhauser Classics)" Birkhaeuser Boston (2008/1/11)[2]
等では、ホモトピーやホモトピックという用語を、本文 Theorem 2-1の意味で使っている。
このような用語の使い方は、保存力を議論するうえでは便利なのだが、通常の使い方とは異なる。
従って、本記事内での曖昧さ回避のための用語の定義を以下のように行う。
Definition (Tube-like-Homotopy and Tube-Homotope).
c 0 , c 1 が、以下を充たすとする。
[A] M は 可微分多様体 ,[B] c 0 : [0, 1] → M と c 1 : [0, 1] → M の定義域が、共に[0,1]閉区間[C] c 0 , と c 1 は、連続曲線。このとき、
(1) Tube-Like-Homotopy: ホモトピー"H" : [0, 1] × [0, 1] → M が"Tube-Like"とは、以下が成り立つことを意味する。
[TLH0] H is continues[TLH1] H (t , 0) = c 0 (t )[TLH2] H (t , 1) = c 1 (t )[TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) for all s ∈ [0, 1](2) Tube Homotope: c 0 , and c 1 が "Tube Homotope" とは、c 0 とc 1 の間に、Tube-like-Homotopy が存在することを意味する。
(3) Tube like and piecewise smooth homotopy: Tube like and piecewise smooth homotopy
“Piecewise smooth Tube Homotope” 等と称する。
^ a b 曲線
α: [a1 , b1 ] → M ,
β: [a2 , b2 , ] → M ,
が、α(b1 ) = β(a2 ) であるとき、
新たな曲線 α ⊕ β が、以下の性質を充たすように構成できる。
任意の区分的に滑らかなベクトル場F (但し、Fの定義域は、α ⊕ βの値域を包含する)に対し、以下が成り立つ
∫
α
⊕
β
F
d
(
α
⊕
β
)
=
∫
α
F
d
α
+
∫
β
F
d
β
{\displaystyle {\int }_{\alpha \oplus \beta }\mathbf {F} d(\alpha \oplus \beta )={\int }_{\alpha }\mathbf {F} d\alpha +{\int }_{\beta }\mathbf {F} d\beta }
基本群 を定義する際に用いられる。
Definition (Joint of paths).
M を位相空間とし、二つの曲線
α: [a1 , b1 ] → M ,
β: [a2 , b2 ] → M ,
を考える。α, βが以下を充たすとき、
α(b1 ) = β(a2 ) 新たな曲線が、以下のように定義される。これをαとβのjointという。
α ⊕ β : [a1 , b1 +(b2 -a2 )] → M
(
α
⊕
β
)
(
t
)
=
{
α
(
t
)
a
1
≤
t
≤
b
1
,
β
(
t
+
(
a
2
−
b
1
)
)
b
1
<
t
≤
b
1
+
(
b
2
−
a
2
)
.
{\displaystyle (\alpha \oplus \beta )(t)={\begin{cases}\alpha (t)&{a}_{1}\leq t\leq \ {b}_{1},\\\beta (t+({a}_{2}-{b}_{1}))&{b}_{1}<t\leq {b}_{1}+({b}_{2}-{a}_{2}).\end{cases}}}
^ a b
M への曲線
α: [a1 , b1 ] → M ,
に対し、新たな曲線
⊖
{\displaystyle \ominus }
区分的滑らかなベクトル場 F (但しF の定義域がαの値域を包含するものとする)に対し
∫
⊖
α
F
d
(
⊖
α
)
=
−
∫
α
F
d
α
{\displaystyle {\int }_{\ominus \alpha }\mathbf {F} d(\ominus \alpha )=-{\int }_{\alpha }\mathbf {F} d\alpha }
Definition (Backward of curve).
M を位相空間としたとき、
α: [a1 , b1 ] → M
に対し、
⊖
{\displaystyle \ominus }
1 , b1 ] → M を以下のように定義する。
⊖
α
(
t
)
=
α
(
b
1
+
a
1
−
t
)
{\displaystyle \ominus \alpha (t)=\alpha ({b}_{1}+{a}_{1}-t)}
これをαの“Backwards”という。
無論、さらに、
α: [a1 , b1 ] → M
β: [a2 , b2 ] → M
が、 α(b1 )=β(b2 ) (即ち、
α(b1 )=
⊖
{\displaystyle \ominus }
2 )をみたすとき、
α
⊖
β
{\displaystyle \alpha \ominus \beta }
α
⊖
β
:=
α
⊕
(
⊖
β
)
{\displaystyle \alpha \ominus \beta :=\alpha \oplus (\ominus \beta )}
^ a b James Stewart;"Essential Calculus: Early Transcendentals" Cole Pub Co (2010)[3]
^ a b c 本記事におけるこの定理の証明は、 Prof. Robert Scheichl (University of Bath , U.K)の講義ノートによる証明に準拠している。 [4] , 特に、[5] を参照のこと。
^ a b c 本証明は、以下の記事の証明と同等である。[6]
^ http://mathworld.wolfram.com/CurlTheorem.html ^ a b c d e f
John M. Lee;"Introduction to Smooth Manifolds (Graduate Texts in Mathematics, 218) " Springer (2002/9/23)
[7]
[8]
^ a b c d e f g
Lawrence Conlon;"Differentiable Manifolds (Modern Birkhauser Classics) " Birkhaeuser Boston (2008/1/11) [9]
^
有馬 哲 (著) ,浅枝 陽 (著);「ベクトル場と電磁場―電磁気学と相対論のためのベクトル解析」東京図書 (1987/05)
^ a b 藤本淳夫(著);「ベクトル解析現代数学レクチャーズ C- 1」培風館 (1979)
^ http://www.rac.es/ficheros/doc/00128.pdf ^ L. S. Pontryagin, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory, American Mathematical Society Translations, Ser. 2, Vol. 11, American Mathematical Society , Providence, R.I., 1959, pp. 1–114. MR 0115178 (22 #5980 [10] )[11]
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to {\mathbb {R} }^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d562a91dc017c488a31d079bb73b63b947c5b75)
![{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700b9e5b1532fda03088d97fb2bd4573367ad961)
![{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}:[0,1]\to [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516e77d775faed9af7fac73a5ecb1485bea14911)
![{\displaystyle {\theta }_{[a,b]}=s(b-a)+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c756fa4ba2b2190b6c7a051ec543eff6fade49a2)
![{\displaystyle c[[a,b]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514eb4801930e57f36c98f9bb51dc308e2e58475)
![{\displaystyle \int _{c}\mathbf {F} \ dc\ =\int _{c\circ {\theta }_{[a,b]}}\ \mathbf {F} \ d(c\circ {\theta }_{[a,b]})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04523d3e924836aed8c3aaf49549fc6e94972dd3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\gamma _{1}:[0,1]\to D\\\gamma _{1}(t):=(t,0)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{2}:[0,1]\to D\\\gamma _{2}(s):=(1,s)\end{cases}}\\{\begin{cases}\gamma _{3}:[0,1]\to D\\\gamma _{3}(t):=(-t+0+1,1)\end{cases}},\qquad &{\begin{cases}\gamma _{4}:[0,1]\to D\\\gamma _{4}(s):=(0,1-s)\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ce72c64489714e0cebcbe828158d139397104a)
