多変数の微分

多変数の微分（たへんすうのびぶん）は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

数ベクトル空間についての補足

数ベクトル空間

n 次元実数ベクトル空間 $\mathbb {R} ^{n}$ とは、集合としては

$\mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.$　　　　　　　　(1-2)

である。つまり n 個の実数 ${{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}$ を用いて

$\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)$　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる $\mathbf {e} _{i}$ を、第 i 標準ベクトルという。

$\mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)$　　　　(1-8)

である。

標準座標系

次に $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {R} ^{m}$ の標準座標系を定義する。$\mathbb {R} ^{n}$ に対し、

${\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle$　　　　(1-6)

とし、これを $\mathbb {R} ^{n}$ の第 j 座標関数という。ここで $\langle \cdot |\cdot \rangle$ は内積を表す。つまり、

${\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}$　　　　(1-7)

である。 $\mathbb {R} ^{n}$ 標準座標系とは、${\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}$ の組 $\langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle$ のことである。当然、

${\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}$　　　　(1-9)

が成立する。$\mathbb {R} ^{m}$ にも、同様に、$\mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}$ や、標準座標系 $\langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle$ が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 ($\mathbb {R} ^{n}$) の標準座標系を $\langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle$ と表記し、値域側 ($\mathbb {R} ^{m}$) の標準座標系も $\langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle$ と表記していては紛らわしいので、$\mathbb {R} ^{n}$ の標準座標系を $\langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle$と書くことにする。つまり、

${\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}$　　　　(1-10)

とする。 以降、「$\mathbb {R} ^{n}$ に、標準座標系 $\rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle$ が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

多変数ベクトル値関数

$\mathbb {R} ^{n}$ に標準座標系 $\langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle$ が定まっているとし、$\mathbb {R} ^{m}$ に標準座標系 $\langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle$が定まっているとする。

${\textbf {D}}$ を $\mathbb {R} ^{n}$ の部分集合とし、

$\mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)$　　　　(1-1)

を、${\textbf {D}}$ 上で定義された $\mathbb {R} ^{m}$ に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 $f_{i}$ は ${\textbf {f}}$ の第 i 成分を表す。$f_{i}$ は以下の性質を満たす。

$f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle$　　　　(1-11)

$\mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}$

偏微分

設定

$\mathbb {R} ^{n}$ に、標準座標系 $\langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle$ が定まっているとし、$\mathbb {R} ^{m}$ に、標準座標系 $\langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle$ が定まっているとする。 ${\textbf {D}}$ を、$\mathbb {R} ^{n}$ の開集合とし、

$\mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)$　　　　(1-1)

を、${\textbf {D}}$ 上で定義された $\mathbb {R} ^{m}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで ${{f}_{i}}$ は ${\textbf {f}}$ の第 i 成分を表す。

偏微分の定義

${\textbf {p}}$ を ${\textbf {D}}$ 内の点とし、${\textbf {a}}$ を $\mathbb {R} ^{n}$ のベクトルとする（${\textbf {p}}$ は ${\textbf {p}}\in {\textbf {D}}$ でなければならないが ${\textbf {a}}$ は ${\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}$であってよい）。

${\textbf {p}}$, ${\textbf {a}}$ は固定されているものとする。

このとき、${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で ${\textbf {a}}$ について偏微分可能であるとは、以下の極限値

${\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}$　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき ${\textbf {f}}$の${\textbf {p}}$における、${\textbf {a}}$ について偏微分商、 ${\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}$ を、以下のように定義する。

${\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}$　　　(1-5)

成分関数の微分可能性

${\textbf {f}}$ の第 i 成分 ${f}_{i}$ は以下の等式を満たす。

$f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle$　　　　(1-11)

上式において $\langle \cdot |\cdot \rangle$ は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、${f}_{i}$ を（(1-5) の定義式通りに）${\textbf {p}}$ で ${\textbf {a}}$ について偏微分することを考える。 ${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で ${\textbf {a}}$ について偏微分可能ならば、$f_{i}$ は ${\textbf {p}}$ で ${\textbf {a}}$ について偏微分可能で、

${\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}$　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

$\mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}$　　　　(1-13)

なので、$f_{1},\cdots ,f_{m}$ すべてが ${\textbf {p}}$ で ${\textbf {a}}$ について偏微分可能であれば、${\textbf {f}}$ も微分可能で、

${{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)$　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

一変数関数の微分への帰着

(1-6) の各成分、つまり ${\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}$ は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数

$f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )$　　　　　　(1-15)

を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

${\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}$　　　　　　(1-16)

である。但し、$l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}$ は、

$l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p}$　　(1-17)

で定まる $\mathbb {R} ^{n}$ の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

記号「∂f/∂x_j」について

${\textbf {f}}$ の点 $\mathbf {p}$ における「（$\mathbb {R} ^{n}$の） ベクトル $\mathbf {e} _{j}$」に対する偏微分商、即ち $\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]$ を、 ${\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}$ と書く。 即ち、

${\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {e} _{i}+\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}$ (1-18)

と表記する。

また、${\textbf {f}}$ の第 i 成分、つまり ${{f}_{i}}$ の点 $\mathbf {p}$ における「（$\mathbb {R} ^{n}$ の）ベクトル $\mathbf {e} _{j}$」に対する偏微分商 $\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}f_{i}[\mathbf {p} ]$ を、${\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}$ と表記する。

ここで、${\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}$ は、それぞれ $\mathbb {R} ^{n}$ 標準基底であり、${\textbf {e}}_{j}$ は、第 j 標準ベクトルを意味する。

ヤコビ行列の導入

${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ において、${\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}$ 全てに対して偏微分可能であるとき、

${(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)$　　　　(1-20)

を ${\textbf {f}}$ の $\mathbf {p}$ におけるヤコビ行列という。

微分

設定

${\textbf {D}}$ を $\mathbb {R} ^{n}$ の開集合とし、

${\textbf {f}}(\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}f_{1}(\mathbf {x} )\\\vdots \\f_{m}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)$　　　　(2-1)

を、${\textbf {D}}$ 上で定義された $\mathbb {R} ^{m}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

微分の定義

${\textbf {p}}$ を ${\textbf {D}}$ 内の点とする（つまり ${\textbf {p}}\in {\textbf {D}}$）。このとき、${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとは、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0$　　　　(2-2)

を充たす $n\times m$ 行列 ${\textbf {A}}$ が存在することを意味する。この ${\textbf {A}}$ を、${\textbf {f}}$ の ${\textbf {p}}$ における微分という。

${\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}$ とおくと、次のようにも表せる。

$\quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0$

微分の一意性

${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとき、(2-2) を満たす $n\times m$ 行列はひとつしか存在しない。つまり、$n\times m$ 行列 ${\textbf {B}}$ が、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0$　　　　(2-3)

を満たすとすると、

${\textbf {A}}={\textbf {B}}$　　　　(2-4)

が成立する。

微分可能性と偏微分可能性

${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとき、${\textbf {f}}$ は ${\textbf {p}}$ で任意のベクトル ${\textbf {a}}$ に対して偏微分可能である。実際、

${\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}$　　(2-5)

ここで、

$\,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)$　　　　(2-6)

は、(2-2) に $\mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a}$ を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の $t\to 0$ 極限は 0 となる。従って、

${\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a}$　　　　(2-7)

となる。以上より ${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとき、${\textbf {f}}$ は ${\textbf {p}}$ で $\mathbb {R} ^{n}$ の任意のベクトル ${\textbf {a}}$ に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能ならば

${\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a}$　　　　(2-8)

であることが分かる。

ヤコビ行列の導入

式 (1-2-8) に ${\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}$ を代入すると、

${\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}$　　　　(2-9)

である。従って ${\textbf {f}}$の ${\textbf {p}}$ での微分 ${\textbf {A}}$ の第 j 列は、

${{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$　　　　(2-10)

第 i , j 成分は

${\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}$　　　　(2-11)

となる。従って、

$\mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}$　　　　(2-12)

となる。

誤差項の導入

「誤差項」の導入を行う。 ${\textbf {f}}$ と ${\textbf {p}}$ に対し、${\textbf {f}}$ の ${\textbf {p}}$ における誤差項（ランダウの記号）${\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}$ を

$\mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)$　　　　(2-13)

によって定める。

${\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0}$　　　　(2-14)

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0}$　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )$　　　　(2-16)

の ${\textbf {x}}$ に ${\textbf {p}}$ を代入すれば直ちに得られる。 (2-16) の恒等式ことを、本記事では ${\textbf {f}}$ の点 ${\textbf {p}}$ における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、${\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}$ が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は ${\textbf {f}}$ の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 ${\textbf {p}}$ の近傍で ${\textbf {f}}$ は

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )$　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

微分に関するいくつかの公式

偏微分の「方向」に関する公式

式 (2-8) から、${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとき、${\textbf {f}}$ は ${\textbf {p}}$ において $\mathbb {R} ^{n}$ の任意のベクトル ${\textbf {a}}$, ${\textbf {b}}$ と、任意の実数 $\lambda ,\mu$ に対して、

${\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)$　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

${\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、${\textbf {f}}$ が ${\textbf {p}}$ で微分可能であるとき、${\textbf {f}}$ は ${\textbf {p}}$ で ${\mathbb {R} ^{n}}$ の任意のベクトル ${\textbf {a}}$ に対して、

${\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

アフィン写像の微分

次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて

$T({\textbf {x}})={\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}}$　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、${\mathbb {R} ^{n}}$から${\mathbb {R} ^{m}}$への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（${\mathbb {R} }^{n}$の点）${\textbf {p}}$で微分可能で、任意の点（${\mathbb {R} }^{n}$の点）${\textbf {p}}$において、

${{(JT)}_{[\mathbf {p} ]}}={\textbf {A}}$　　(3-5)

である。逆に、任意の点${\textbf {p}}$において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

合成写像の微分

次に、合成写像の微分について説明する。${\textbf {E}}$を${\mathbb {R} ^{m}}$の開集合とし、${\textbf {E}}$は、${\textbf {f}}$の値域を含む（つまり、${\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}$、特に${\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数 $\mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)$　　　　(3-6)

は、${\textbf {E}}$で定義され、${{\mathbb {R} }^{l}}$に値をとるとする。このとき、$\mathbf {g}$と${\textbf {f}}$との合成写像$\mathbf {g} \circ {\textbf {f}}$は、${\textbf {D}}$で定義され、${{\mathbb {R} }^{l}}$に値をとる多変数ベクトル値関数である。

${\textbf {f}}$が点${\textbf {p}}$で微分可能で、$\mathbf {g}$が、点$\mathbf {f} (\mathbf {p} )$で微分可能であるとき、$\mathbf {g} \circ {\textbf {f}}$も${\textbf {p}}$で微分可能で、

${{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}$=${{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}$$\cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}$　　　　(3-7)

ここで“$\cdot$”とは、行列としての積である。

■証明
${\textbf {f}}$を点${\textbf {p}}$で一次展開し、 ${\textbf {g}}$を点$\mathbf {f} (\mathbf {p} )$で(2-16)同様に一次展開すると、

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )$$={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )$　　　　(3-8)

$\mathbf {g} (\mathbf {y} )$$={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))$　　　　(3-9)

となるので、

$\mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})$ $=\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))$ $={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))$

$={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))$

$+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))$

$={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )$$+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))$

$={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))$ $+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )$ 　　　　(3-10)

である。従って

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0$　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

${\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}$ $=\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)$ $\,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,$ 　　　　(3-12)

より、 ${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}$$\,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,$　　　　(3-13)

一方、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}$=${\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}$　　　　(3-14)

は、

${\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}$　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0$　　　　(3-16)

さらに、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,$　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0$　　　　(3-18)

また、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0$　　　(3-19)

は、

${\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}$$={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)$ 　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■

(3-7)を行列として具体的に表記すると

${{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}$=$\left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\end{matrix}}\right)$ $\left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\end{matrix}}\right)$(3-21)

となる。これから、

${{\left.{\frac {\partial {{(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}={{\sum \limits _{k=1}^{m}{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right|}}_{[{\textbf {f}}({\textbf {p}})]}}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}$(3-22)

が分かる。

合成写像の偏微分

次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

${{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=$${{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=0}}$ 　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

${{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}}{{\left({{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}\right)}_{s}}$ $=\left({{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}},\cdots ,{{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}}\right)$ $s{\textbf {a}}$ $={{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}$　　　(3-24)

以上より、

${{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=$${{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}$　　　　　　(3-25)

逆写像の微分

次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。${\textbf {E}}$を${\mathbb {R} ^{m}}$の開集合とし、${\textbf {E}}$は、${\textbf {f}}$の値域を含む（つまり、${\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}$、特に${\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数

$\mathbf {g} (\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {x} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)$　(3-26)

は、${\textbf {E}}$で定義され、${{\mathbb {R} }^{m}}$に値をとるとする。さらに、${\textbf {g}}$が${\textbf {f}}$の逆写像、つまり

$\mathbf {g} =$${{\mathbf {f} }^{-1}}$　(3-27)

とする。このとき、

${{(J{{\mathbf {f} }^{-1}})}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}={{\left({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\right)}^{-1}}$　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

導関数の導入

これまでの議論では、一点${\textbf {p}}$を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。

${\textbf {D}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$の開集合とし、

$\mathbf {f} ({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left({\begin{matrix}{{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\{\vdots }\\{{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\\end{matrix}}\right)$　　　　(4-1)

を、${\textbf {D}}$上で定義され、${\mathbb {R} ^{m}}$に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

${\textbf {a}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$の固定されたベクトルとする。（${\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}$でもよい。）このとき、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、${\textbf {a}}$について偏微分可能である」とは${\textbf {D}}$内の全ての点において、(4-1)の意味で${\textbf {f}}$が${\textbf {a}}$について偏微分可能であることを意味する。このとき「${\textbf {f}}$の${\textbf {a}}$についての偏導関数${{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f}$」とは、「${\textbf {D}}$の点${\textbf {x}}$と${\textbf {x}}$における偏微分商${{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}$を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

${{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=$ ${{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}$　　　　(4-2)

である。特に

${{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=$$\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right)({\textbf {x}})$　　　　(4-3)

とする。

「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、微分可能である」とは、「${\textbf {D}}$内の全ての点において、(2-2)の意味で${\textbf {f}}$が微分可能」であることを意味する。

このとき「${\textbf {f}}$の${\textbf {D}}$における導関数${{\mathbf {f} }^{'}}$」とは、「${\textbf {D}}$の点${\textbf {x}}$と${\textbf {x}}$における微分${{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}$を対応させる行列値の関数」である。つまり、

${\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=$${{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}$　　　　(4-4)

である。${{\mathbf {f} }'}$のことを$J\mathbf {f}$や、$T\mathbf {f}$と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、$d{\textbf {f}}$は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、微分可能」ならば、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、任意の${\textbf {a}}$について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、任意の${\textbf {a}}$について偏微分可能」であっても、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、微分可能」とは限らない。

「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、連続微分可能である」とは、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、${{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}$全てについて偏微分可能であり、かつ${{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}$についての偏導関数がすべて${\textbf {D}}$で、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、連続微分可能」ならば「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、微分可能」であるものの、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、微分可能」であっても、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で、連続微分可能」とは限らない。

但し、「${\textbf {f}}$が${\textbf {D}}$で微分可能であり、導関数が${\textbf {D}}$で、連続」ならば、「${\textbf {f}}$は${\textbf {D}}$で、連続微分可能」である。

全微分

$\mathbb {R} ^{n}$ に $\langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle$ 座標系が定まっているとする。 式 (1-14) の ${\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}$ は全て $\mathbb {R} ^{n}$ から $\mathbb {R}$ への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

${\textit {x}}_{i}'(\mathbf {x} )={}^{t}\mathbf {e} _{i}$　　　　(5-1)

である。ここで ${}^{t}$ は転置を意味する。すなわち ${}^{t}{\textbf {e}}_{i}$ とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より $\mathbf {f} '(\mathbf {x} )$ は、

$\mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right)(\mathbf {x} ),\cdots ,\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right)(\mathbf {x} )\right)$ 　　　　(5-2)

で定まる行列値関数であるため、

$\mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right){\ }^{t}\mathbf {e} _{i}$　　　　(5-3)

であり、

$\mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(r_{i}'(\mathbf {x} )\right)$　　　　(5-4)

がわかる。ここで、$\mathbf {f} '$ を $d\mathbf {f}$、$x_{i}'$ を $dx_{i}$ と書くと、

$d\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(dx_{i}(\mathbf {x} )\right)$　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

$d\mathbf {f} =\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)dx_{i}$　　　　(5-6)

となる。

微分の“逆問題”

スカラーポテンシャルの定義

${\textbf {D}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$の開集合とし、

$A=({{a}_{11}},\cdots ,{{a}_{1n}})$　　(6-1-1)

を、${\textbf {D}}$上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)の$A$に対し、

${f}(x)=A$　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数${f}$を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、$A$のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数$A$があたえられたとき、$A$のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる。

偏導関数に関する「微積分学の基本定理」

${\textbf {D}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$の開集合とし、$h$を${\textbf {D}}$上で定義された多変数スカラー値関数とする。

${\textbf {p}}$を、${\textbf {D}}$内の点とする。（つまり、${\textbf {p}}\in {\textbf {D}}$）${\textbf {a}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$のベクトルとする。（${\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}$でもよい。） このとき、

$\int _{s=0}^{s=1}{\left(\left({{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h\right)(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right)ds}$=$h(\mathbf {a} +\mathbf {p} )-h(\mathbf {p} )$　　(6-2-1)

が成立する。但し、$0\leq s\leq 1$を充たす全ての$s$に対して、 $(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\in {\textbf {D}}$　　(6-2-2) が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

$h\circ l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(s)=h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )$　　　　　　(6-2-3)

で、 ${{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=$$\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)$　　　　　　(6-2-4) である。但し、${{l}_{[\mathbf {a} ,{\mathbf {p} }]}}$は、(1-9)同様、

${{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}(s)=s\mathbf {a} +\mathbf {p}$　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

$\int _{s=0}^{s=1}{\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)ds}$= $\left[h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right]_{s=0}^{s=1}$　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

ポアンカレの補助定理の準備

(6-1-1)の$A$に対し、作用積分${{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}$を定義する。

$\mathbf {p} =\left({\begin{matrix}{{p}_{1}}\\\vdots \\{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)$　　(6-3-1)

を${\mathbb {R} ^{n}}$の点とする。また、${\textbf {D}}$を、${\mathbb {R} ^{n}}$の開集合とし、さらに${\textbf {D}}$が${\textbf {p}}$を中心に星型とする。

${\textbf {D}}$が${\textbf {p}}$を中心に星型とは、任意の${\textbf {D}}$の点${\textbf {x}}$と、任意の$s\in [0,1]$に対し、

$s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} \in {\textbf {D}}$　　(6-3-2)

であることを意味する。

${\textbf {p}}$は固定されているものとする。また、

${\textbf {x}}$$=\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}\\\end{matrix}}\right)$　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、${\textbf {D}}$上で定義された1行n列の行列値関数$A$に対し、${{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}$を

${{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}$=$\int _{s=0}^{s=1}{\left(A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)\right)ds}$　　(6-3-4 )

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

$A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)$　　(6-3-5)

は、$s$についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　${{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}$を、点${\textbf {x}}$と、 実数${{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}$を対応させる多変数スカラー値関数

${{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )$${{\left.={{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}$　　(6-3-6)

とする。以降、点${\textbf {x}}$は、変数とみなす。

参考文献

• Michael Spivak『多変数の解析学―古典理論への現代的アプローチ』齋藤 正彦 (訳)（新装版）、東京図書、2007年4月。 
• 岩堀 長慶, 他『微分積分学』裳華房、1993年。 
• 島 和久『多変数の微分積分学』近代科学社、1991年9月。 
• Frank W. Warner (2010). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York