カレン数

カレン数（カレンすう、Cullen number）とは、 $n \times 2 n + 1$ の形の自然数であり、しばしばこれを $C n$ で表す。アイルランドの数学者ジェームズ・カレン（英語版）が1905年に研究を始めたことにより、この名前が付けられている。最初のいくつかのカレン数は

(1,) 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, ...

(オンライン整数列大辞典の数列 A002064)

である。

$n \times b n + 1$ の形の自然数を一般カレン数という。また、 $n \times 2 n - 1$ の形の自然数は第2種カレン数またはウッダル数と呼ばれる。

カレン素数

素数であるカレン数をカレン素数という。ほとんど全てのカレン数は合成数であることが知られている一方、カレン素数も無数にあると予想されている。 $C n$ が素数となる $n$ は、以下の16個が知られている。

1,141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881

（オンライン整数列大辞典の数列 A5849）

このリストで、 $1$ 以外は全て合成数であり、 $C p$ がカレン素数となるような素数 $p$ が存在するか否かは不明である。

2009年の時点で、カレン素数の探索には、分散コンピューティングプロジェクトの一つであるPrimeGridが主導的な役割を果たしている。15番目のカレン素数

C 6328548 = 6328548 \times 2 6328548 + 1 = 1582137 \times 2 6328550 + 1

は2009年4月に発見され^[1]、16番目のカレン素数 $C 6679881$ は、そのわずか4ヶ月後の2009年8月に発見された^[2]。その大きさは2,010,852桁であり、発見当時に知られた素数のうちでは15番目に大きい^[3]。

素数判定

カレン数の素数判定には、リュカ＝レーマー＝リーゼルの判定法（英語版） (LLR) が有効であり、PrimeGrid もこれを用いている。

また、カレン数の整除性について、以下が成り立つ。カレン素数を探索する際に、これらの事実から自明に合成数であるものを除いておくことができる。

$p$ が $8 k \pm 5$ の形の素数のとき、 $p$ は $C (p +1)/2$ を割り切る。また、 $p$ が $8 k \pm 1$ の形の素数のとき、 $p$ は $C (3 p -1)/2$ を割り切る。
$p$ を奇素数とする。 $m (k) = (2 k - k)(p - 1) - k$ とおくと、任意の非負整数 $k$ に対して、 $p$ は $C m (k)$ を割り切る。特に、 $k = 0, 1$ とすると、 $p$ は $C p -1$ と $C p -2$ を割り切る。

一般カレン数

$n \times b n + 1$ の形の一般カレン数の具体的な数は以下のとおりである。

$b$	$n \times b n + 1$	OEIS
2	$1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, \dots$	A002064
3	$1, 4, 19, 82, 325, 1216, 4375, 15310, 52489, 177148, \dots$	A050914
4	$1, 5, 33, 193, 1025, 5121, 24577, 114689, 524289, \dots$	A050915
5	$1, 6, 51, 376, 2501, 15626, 93751, 546876, 3125001, \dots$	A050916
6	$1, 7, 73, 649, 5185, 38881, 279937, 1959553, 13436929, \dots$	A050917
7	$1, 8, 99, 1030, 9605, 84036, 705895, 5764802, 46118409, \dots$	A050919
8	$1, 9, 129, 1537, 16385, 163841, 1572865, 14680065, 134217729, \dots$	A064746
9	$1, 10, 163, 2188, 26245, 295246, 3188647, 33480784, 344373769, \dots$	A064747
10	$1, 11, 201, 3001, 40001, 500001, 6000001, 70000001, 800000001, \dots$	A064748
11	$1, 12, 243, 3994, 58565, 805256, 10629367, 136410198, 1714871049, \dots$	A064749
12	$1, 13, 289, 5185, 82945, 1244161, 17915905, 250822657, 3439853569, \dots$	A064750

脚注

^ PrimeGrid, News archive, 2009-04-21 02:10 UTC
^ PrimeGrid, News archive, 2009-08-05 02:45 UTC
^ The Prime Pages, The largest known primes: Top 100

参考文献

Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B20.
Christopher Hooley, Applications of sieve methods, Cambridge University Press, 1976, ISBN 0-521-20915-3. Chap.7.3, pp.115-119.

外部リンク

The Prime Pages, The Prime Glossary: Cullen number
- The Top Twenty: Cullen primes
Weisstein, Eric W. "Cullen number". mathworld.wolfram.com (英語).
Proth Search Page, Cullen prime: definition and status

[1] PrimeGrid, News archive, 2009-04-21 02:10 UTC

[2] PrimeGrid, News archive, 2009-08-05 02:45 UTC

[3] The Prime Pages, The largest known primes: Top 100

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

カレン素数

素数判定

一般カレン数

脚注

関連項目

参考文献

外部リンク