イフ合同心
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幾何学において、イフ合同心(いふごうどうしん[1]、英: Yff center of congruence)は三角形の中心の一つである。1087年、ピーター・イフの三角形の中心に関する研究で発見された[2]。
二等辺化線
[編集]Aの二等辺化線(isoscelizer)とは、それぞれAB,AC上の点P1, Q1について、△AP1Q1が二等辺三角形となるとき直線P1 Q1のことを指す。Aの内角の二等分線に垂直である。1963年、ピーター・イフによって導入された[3]。
Yff central triangle
[編集]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Yff_center_of_congruence.svg/285px-Yff_center_of_congruence.svg.png)
△ABCについて 、A,B,Cの二等辺化線をそれぞれP1Q1,P2Q2,P3Q3 とする。また、P1Q1,P2Q2,P3Q3からなる三角形を△A'B'C' とする。4つの三角形△A'P2Q3, △Q1B'P3, △P1Q2C',△A'B'C' は常に相似である。
△A'P2Q3, △Q1B'P3, △P1Q2C',△A'B'C' が合同 であるとき、△A'B'C' はYff central triangleと呼ばれる[4]。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれる。
イフ合同心
[編集]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Yff_center_of_congruence.gif/279px-Yff_center_of_congruence.gif)
△ABCについて P1Q1, P2Q2, P3Q3 がYff central triangle△A'B'C' を成すようにとる。二等辺化線 P1Q1, P2Q2, P3Q3を、△A'P2Q3, △Q1B'P3, △P1Q2C'が合同を保つように、平行に動かすと、△A'B'C' が点に退化するときがある。この点を△ABCのイフ合同心という。
性質
[編集]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Yff_central_triangle_and_its_excircles.svg/282px-Yff_central_triangle_and_its_excircles.svg.png)
- イフ合同心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(174)として紹介されており、三線座標は以下の式で与えられる[5]。
- △ABCの辺はYff central triangleの傍接円の共通外接線である。
- △ABCの内心をIとする。また、∠BID = ∠DICを満たすBC上の点をD、CA,ABにも同様にしてE,Fを定義する。AD, BE, CFはイフ合同心で交わる[5]。これは下記の一般化に使用されている。
- 接触三角形の外接線三角形(extangents triangle)と基準三角形の相似中心である。
- コンピュータの補助によってYff central triangleはいくつかの性質が判明している[6]。
一般化
[編集]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Yff_Centre_Generalisation.png/280px-Yff_Centre_Generalisation.png)
△ABCと任意の点Pについて、BC, CA, AB上に以下を満たす点D, E, Fをとる。AD, BE, CFは共点である[5]。Pを三線座標でp:q:rとすると、その点の三線座標は、
である。PとPを外接円で反転した点の、この一般化された点は一致する。
関連
[編集]出典
[編集]- ^ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年6月1日閲覧。
- ^ Kimberling. “Yff Center of Congruence”. 30 May 2012閲覧。
- ^ Weisstein. “Isoscelizer”. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 30 May 2012閲覧。
- ^ Weisstein. “Yff central triangle”. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 30 May 2012閲覧。
- ^ a b c Kimberling. “X(174) = Yff Center of Congruence”. 2 June 2012閲覧。
- ^ Dekov, Deko (2007). “Yff Center of Congruence”. Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry 37: 1–5 30 May 2012閲覧。.