X線変換

数学において、X線変換（Xせんへんかん、英: X-ray transform）あるいはジョン変換と呼ばれるものは、1938年にフリッツ・ジョンによって導入されたある積分変換であり、近代の積分幾何学の基礎の一つとなっている。ラドン変換と非常に密接に関連しており、二次元ではそれらは一致する。より高次元において、函数のX線変換は、超平面について積分を行うラドン変換とは異なり、直線についての積分として定義される。ある函数 ƒ のX線変換は、密度が函数 ƒ で表される非均質媒質を通した断層撮影の散乱データを表すことから、X線変換の名はX線トモグラフィーに由来する。したがってX線変換の逆は、既知の散乱データから未知の密度 ƒ を再構成する上で用いることができるため、実践的に重要なものである。

より詳細に、ƒ がユークリッド空間 Rⁿ 上のコンパクト台を持つ連続函数であるなら、ƒ のX線変換は Rⁿ 内のすべての直線からなる集合上で定義される次の函数 Xƒ である：

$Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt.$

ここに x₀ は直線 L 上の初期点で、θ は直線 L の方向を与える単位ベクトルである。後者の積分は、向き付けを考えていない。すなわち、ユークリッド直線 L 上の 1 次元ルベーグ測度に関する積分である。

X線変換は、ジョンの方程式と呼ばれる超双曲型波動方程式を満たす。

ガウスの超幾何函数は、X線変換として記述することが出来る (Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2)。

参考文献

• Berenstein, Carlos A. (2001), “X-ray transform”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=X-ray_transform .
• Gelfand, I. M.; Gindikin, S. G.; Graev, M. I. (2003) [2000], Selected topics in integral geometry, Translations of Mathematical Monographs, 220, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2932-5, MR2000133, https://books.google.com/books?isbn=0821829327 
• Helgason, Sigurdur (2008), Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs, 39 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR2463854 
• Helgason, Sigurdur (1999), The Radon Transform, Progress in Mathematics (2nd ed.), Boston, M.A.: Birkhauser, http://www-math.mit.edu/~helgason/Radonbook.pdf