トモグラフィー

トモグラフィー（英: tomography）^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^{[注釈 1]}^{[注釈 2]}は、物理探査、医療診断等で用いられる逆解析技術の一つ。日本語訳は、断層映像法または断層影像法である。コンピュータを用いて処理することで、画像を構成する技術はコンピュータ断層撮影と呼ばれる。

その多くは、対象領域を取り囲む形で、走査線（線源と検出器）を配置し、内部の物性（音速、比抵抗、音響インピーダンス、密度など）の分布を調べる技術である。評価したい対象物によって、X線CT、地震波トモグラフィー、海洋音響トモグラフィーなどと呼ばれている。

概要

本記事では、トモグラフ像の撮影と、復元について、原理と装置構成を説明する。トモグラフ像の撮影方法には、主に、平行ビーム光学系を用いる方法（図2参照）と、扇形ビーム（ファンビーム）光学系（図3参照）と円錐ビーム(コーンビーム)を用いる方法がある^{[注釈 4]}^{[注釈 5]}。

画像再構成アルゴリズム

CT画像再構成法は解析的再構成法、代数的再構成法、統計的再構成法に大別され、逆投影法は解析的再構成法に分類され、逐次近似画像再構成法は代数的再構成法と統計的再構成法に分類される^[1]^[13]。これまでCT画像再構成法の主流はフィルタ補正逆投影法（filtered back projection：FBP法）であったが、近年では画像ノイズ低減効果やアーチファクト低減効果が期待される逐次近似画像再構成法（iterative reconstruction：IR法）が増えつつある^[1]^[13]。

逆投影法（Back projection）: 逆投影法では1回の計算で解(再構成像)が求まる^[13]。
逐次近似画像再構成法（Iterative reconstruction）: 逐次近似法は最初に初期画像を仮定してこの画像から計算で作成した投影(順投影)と実測投影との整合性を反復計算によって高めていく手法で、反復計算により計算時間を多く必要とするものの、コンピュータの高速化に伴って統計雑音の性質、装置の分解能、被写体の滑らかさなどの事前情報などを式中に組み込める柔軟性や近年発展の著しい圧縮センシング理論を取り入れることにより徐々に増えつつある^[13]^[14]。

平行ビーム光学系を用いたトモグラフ像の撮影と復元

トモグラフィーの数学的な基礎はラドン変換と、ラドン逆変換である^[1]。ラドン変換は、トモグラフィーの基本原理であるばかりでなく、例えば、ハフ変換等にも応用される^[15]^[16]^[17]。応用範囲の広い数学的手法であるが、ここでは、トモグラフィーのモデル化という観点に重きをおいて説明する。

関数 $\mu (x,y)$ のラドン変換は、以下の式で与えられる。

p(s,\theta )=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt

即ち、「 $\mu (x,y)$ のラドン変換の $(\theta ,s)$ での値 $p(s,\theta )$ 」は、「関数 $\mu (x,y)$ の直線 ${l}_{[\theta ,s]}(t)$ に沿う線積分の値」である。但し、 ${l}_{[\theta ,s]}(t)$ は、

{l}_{[\theta ,s]}(t)={\begin{bmatrix}s\cos \theta -t\sin \theta \\s\sin \theta +t\cos \theta \\\end{bmatrix}}

で定まる直線（tについての直線）である。ここで、上式をtについての直線とみなす際には、 $\theta$ ,sは、固定されているものと考えるが、その際、 $\theta$ は前記の直線の傾き角を表し、sは、前記の曲線と原点との間の距離を表すことに注意されたい。

本節では、座標(x,y)における被写体の吸収係数を $\mu (x,y)$ とおく。そのうえで、

吸収係数の位置依存性 $\mu (x,y)$ にラドン変換を施すことで、測定結果、即ち透過光によって得られた像 $p(s,\theta )$ が得られる(モデル化される)こと
測定結果にラドン逆変換を施すことで、 $\mu (x,y)$ が復元されること。

を説明する。

平行ビーム光学系によるトモグラフ像撮影のモデル化

被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。

ラドン変換を考える際、光線は幾何光学的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、吸収はされるが、回折や散乱をしないと考え、さらに反射もしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線 $l$ で表される場合について考える。

吸光が、ランベルト・ベールの法則^[1]に従うとすると、前記光線の入射強度を ${I}_{0}$ 、透過後の強度を $I$ 表記したとき、

I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)

が成り立つ。従って、光線lに沿った吸光度を $p_{l}$ と表すと、

p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt

次に、x-y平面に対し、角度θをなす光束を考える。この光束の像について考察しよう。新たに $s-t$ 座標系を、

{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

により定義する。即ち、s-t座標系は、x-y座標系を角度θだけ回転した座標系である。このとき、回転行列の性質から、

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s\cos \theta -t\sin \theta \\s\sin \theta +t\cos \theta \\\end{bmatrix}}

となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}

のように書くと、より直線らしく見えるであろう。

即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下の ${l}_{[\theta ,s]}(t)$ で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。

{l}_{[\theta ,s]}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}

さらに、光線 ${l}_{[\theta ,s]}(t)$ による吸光量を、 $p(s,\theta )$ と書くと、

p(s,\theta )=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt

が成り立つ。

以上から、x軸に対し、角度θをなす平行光束による透過像（一次元透過像）のプロファイルが、ラドン変換によって与えられることが判った。この、 $p(s,\theta )$ が、CT撮影により測定される測定データである。

平行ビーム光学系によるトモグラフ像の復元

二次元フーリエ変換についての補足

ラドン逆変換とは、実測された $p(s,\theta )$ から、 $\mu (x,y)$ を復元する作業のことを指すが、これを説明するためには2変数関数のフーリエ変換について知っておく必要があるので、簡単に復習する。

まず、 $\mu (x,y)$ のフーリエ変換とは、

{\hat {\mu }}(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\cdot exp(i(ux+vy))dxdy

である。 ${\hat {\mu }}(u,v)$ のことを、 ${\mathcal {F\mu }}(u,v)$ と書く場合もある。ここで、" $\cdot$ "は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。

先の ${\hat {\mu }}(u,v)$ と、 $\mu (x,y)$ に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。

{\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\cdot exp(i(xu+yv))dudv

即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。ここで、" $\cdot$ "は、関数と関数の積（単なる掛け算）を意味する。

ラドン逆変換

実測された $p(s,\theta )$ から、今度は $\mu (x,y)$ を復元することを考える。この復元操作は、数学的に、以下の2ステップで行われる。

ラドン逆変換のステップ（1）

{\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{s=-\infty }^{s=\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds

を計算する。

ラドン逆変換のステップ（2）

{\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta

を計算する。

上記2ステップの計算を実施することを、ラドン逆変換という。以下、上記ステップにて、μ(x,y)が復元されることを示す。

証明第一段階

（1） ${\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )$ の証明

$p(s,\theta )$ を、変数sについてフーリエ変換（一変数関数としてフーリエ変換）したものを、 ${\tilde {p}}(r,\theta )$ とする。即ち、

{\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{s=-\infty }^{s=\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds

とする。これは、上記ステップ（1）の変換に他ならない。当たり前のことだが、この ${\tilde {p}}(r,\theta )$ は、 ${\hat {p}}(u,v)$ とは別物である。そもそも定義が異なる。

今、 $p(s,\theta )$ の定義式、即ち、

p(s,\theta )={\int }_{t=-\infty }^{t=\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt

を、上式に代入すると、

{\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds

={\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt\right\}\exp(isr)ds

={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\exp(isr)\,dtds

である。

今、2変数ベクトル値関数 ${\varphi }_{\theta }(x,y)$ と、 ${\psi }_{\theta }(s,t)$ を、それぞれ、

{\varphi }_{\theta }(x,y)={\begin{bmatrix}s(x,y)\\t(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

{\psi }_{\theta }(s,t)={\begin{bmatrix}x(s,t)\\y(s,t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}

と定めると、明らかに、

{\psi }_{\theta }({\varphi }_{\theta }(x,y))=(x,y)

である。さらに、

\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )=\mu ({\varphi }_{\theta }(s,t))

である。従って、

{\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (({\varphi }_{\theta }(s,t)))\exp(isr)\,dtds

である。

さらに、上式を、

dtds=|J{\varphi }_{\theta }|dxdy=dxdy

\exp(isr)=\exp(ir(x\cos \theta -y\sin \theta ))=\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)

に注意して積分の変数変換を施すと、

{\tilde {p}}(r,\theta )

={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu ({\psi }_{\theta }({\varphi }_{\theta })(x,y)))\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)|J{\varphi }_{\theta }|\,dxdy

={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y))\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)\,dxdy

一方で、

{\hat {\mu }}(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\exp(i(ux+vy))dxdy

の、(u,v) に　 $(r\cos \theta ,-r\sin \theta )$ を代入すると、

{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)\,dxdy

従って、

{\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )

が判る。

証明第二段階

（2） ${\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta$ の証明

第一段階の結論、すなわち、

{\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )

より、以下の等式が、任意の(x,y)に対して成り立つ。

{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta

={\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta

上式の右辺に、以下の変数変換: $\xi (r,\theta )={\begin{bmatrix}u(r,\theta )\\v(r,\theta )\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{bmatrix}}$

を施すと、積分の変数変換の公式から、

{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta

={\int }_{u=-\infty }^{u=\infty }{\int }_{v=-\infty }^{v=\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\exp(i<(u,v)|(x,y)>)dudv

一方、二次元のフーリエ逆変換を考えると、

{\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\exp(i(xu+yv))dudv

であるため、

{\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta

を得る。

扇形ビーム光学系によるトモグラフ像の測定と復元

特に医療機器の場合には、図3のような扇形ビーム^[1]を用いる場合が多い。

円錐形ビーム光学系によるトモグラフ像の測定と復元

円錐状のビームをフラットパネルディテクタのような2次元に配置された検出素子で検出する^[1]。1998年にソニーがコーンビームCT の先駆けとなる大視野3次元X線CTの開発に成功した^[18]。その後、コーンビームCTやマルチスライスCTで使用される。