2の12乗根

2の12乗根（2の12じょうこん） ${\sqrt[{12}]{2}}$ は、代数的無理数である。音楽理論において非常に重要であり、十二平均律における半音の周波数比を表す。歴史的にこの数はシモン・ステヴィンによって1580年（草稿、1610年に書き直し）に調律との関連で初めて提唱された^[1]。

数値

有効数字20桁の2の12乗根は1.0594630943592952646^[2]^[3]^[4]である。正則連分数展開^[5]によるディオファントス近似は1, 17⁄16, 18⁄17, 89⁄84, 196⁄185, 1461⁄1379, 1657⁄1564, 3118⁄2943, 7893⁄7450, 18904⁄17843 ... ^[6]^[7]である。

平均律の半音階

音程は周波数の比であるため、平均律の半音階はオクターブ（2:1の周波数比）を12等分する。

この値を中央ハ（C）の上のイ（A）音（440 Hzの周波数を持ち、A₄と呼ばれる）から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の音高列が得られる。

音	周波数 (Hz)	乗数	係数（8桁まで）	近似比
A	440.000000	2^0⁄12	1.00000000	1
A♯/B♭	466.163762	2^1⁄12	1.05946309	≈ 16⁄15
B	493.883301	2^2⁄12	1.12246205	≈ 9⁄8
C	523.251131	2^3⁄12	1.18920712	≈ 6⁄5
C♯/D♭	554.365262	2^4⁄12	1.25992105	≈ 5⁄4
D	587.329536	2^5⁄12	1.33483985	≈ 4⁄3
D♯/E♭	622.253967	2^6⁄12	1.41421356	≈ 7⁄5
E	659.255114	2^7⁄12	1.49830708	≈ 3⁄2
F	698.456463	2^8⁄12	1.58740105	≈ 8⁄5
F♯/G♭	739.988845	2^9⁄12	1.68179283	≈ 5⁄3
G	783.990872	2^10⁄12	1.78179744	≈ 9⁄5
G♯/A♭	830.609395	2^11⁄12	1.88774863	≈ 15⁄8
A	880.000000	2^12⁄12	2.00000000	2

最後のA（A₅: 880 Hz）は低い方のA（A₄: 440 Hz）の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。

歴史

1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌによって計算された。

出典

^ Thomas Christensen, ed (2002). The Cambridge history of Western music theory. Cambridge University Press. pp. 205. ISBN 978-0521686983
^ オンライン整数列大辞典の数列 A010774
^ [1]Wolfram Alphaによる。
^ [2]Sageによる（via SageMathCell）。
^ オンライン整数列大辞典の数列 A103922
^ [3]Wolfram Alphaによる。
^ [4]Sageによる（via SageMathCell）。

表話編歴代数的数
代数的整数チェビシェフ分点（英語版）作図可能数コンウェイの定数（英語版） ( $λ$ ) アイゼンシュタイン整数ガウス整数黄金数 ( $φ$ ) クンマー環ペロン数（英語版）ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版）二次の無理数（英語版）有理数 ( $\mathbb {Q}$ ) 1の冪根サレム数白銀比 ( $δ S$ ) プラスチック数 ( $ρ$ ) $\sqrt 2$ $\sqrt 3$ $\sqrt 5$ $\sqrt 6$ $\sqrt 7$ $\sqrt 10$ $3 \sqrt 2$ $12 \sqrt 2$		$ℚ$
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