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閉微分形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

微分位相幾何学における微分形式 (closed) である、または閉微分形式(へいびぶんけいしき、: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、C1-フランス語版函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的なを保証する。

一次微分形式の場合

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n-次元の 1-形式 であるとは、 が成り立つことである。これは全部で n(n – 1)/2 この条件を満足することを言っている。

  • 一次元の場合、可微分 1-形式 ωA(x)dx は常に閉である。
  • 二次元の場合、1-形式 ωA(x, y)dx + B(x, y)dy が閉となるのは、 を満たすときである。
  • 三次元の場合、1-形式 ωA(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、 となるときである。これは Ω ≔ t(A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。

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注釈

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出典

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参考文献

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  • (フランス語) Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [要文献特定詳細情報]
  • (フランス語) Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

関連項目

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外部リンク

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  • Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Closed Form". mathworld.wolfram.com (英語).
  • closed (differential form) - PlanetMath.(英語)
  • closed differential forms on a simply connected domain - PlanetMath.(英語)
  • closed form in nLab