貴金属比

数学において、貴金属比（ききんぞくひ、英語: metallic ratio）とは、

$1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$（n は自然数）

で表される比のことである。

線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、

$(b-na):a=a:b$

が成り立つことを意味する。

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$ を貴金属数（ききんぞくすう、英語: metallic number）という。第n貴金属数 M_n は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり

$M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n$（n は自然数）

で特徴付けられる。

貴金属数

貴金属数

n	第n貴金属数	小数展開	オンライン整数列大辞典	別名
0	$1$	1
1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	1.6180339887…	A001622	黄金数
2	$1+{\sqrt {2}}$	2.4142135623…	A014176	白銀数
3	${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	3.3027756377…	A098316	青銅数
4	$2+{\sqrt {5}}$	4.2360679774…	A098317
5	${\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}$	5.1925824035…	A098318
6	$3+{\sqrt {10}}$	6.1622776601…	A176398
7	${\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}$	7.1400549446…	A176439
8	$4+{\sqrt {17}}$	8.1231056256…	A176458
9	${\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}$	9.1097722286…	A176522
…	…
n	${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

自然数 n に対して、第 n 貴金属数は、二次方程式 x² − nx − 1 = 0 の正の解であり、

${\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

である。

貴金属数の累乗

• 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。
• 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。

連分数表示

貴金属数の連分数表示は

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

である。

数列の商の極限

黄金数（第1貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {M_k} を、漸化式

$M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}$

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

$M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}$

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

$\lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu$

が成り立つ。

青銅比

青銅比（せいどうひ、英語: bronze ratio）は、

$1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$

の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ（第3貴金属比）。

青銅比において

${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots$

は、二次方程式 x² − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数（せいどうすう、英語: bronze number）という。

青銅数を連分数で表すと

$3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}$

となる。

関連項目

• 黄金比
• 白銀比
• 白金比