逆数

逆数（ぎゃくすう、英: reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が $1$ となる数である。すなわち、数 $x$ の逆数 $y$ とは次のような関係を満たす。

x\times y=y\times x=1.

通常、 $x$ の逆数は分数の記法を用いて $1 / x$ のように表されるか、冪の記法を用いて $x -1$ のように表される。

$1$ を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。

上述の式から明らかなように、 $x$ と $y$ の役割を入れ替えれば、 $x$ は $y$ の逆数であると言える。従って、 $x$ の逆数が $y$ であるとき $y$ の逆数は $x$ である。

$x$ が $0$ である場合、任意の数との積は $0$ になるため、（ $0 \neq 1$ であれば） $0$ に対する逆数は存在しない。

また、任意の $x$ について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は $x = y = 1$ 以外には存在しない。 $0$ を除く任意の数 $x$ について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。

逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。

1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はループと呼ばれる。

例

以下に具体例をいくつか挙げる。ここで $e$ はネイピア数、 $i$ は虚数単位、 $r$ は複素数の絶対値、 $θ$ は複素数の偏角を表す。また、 $z$ は複素数 $z$ の共役複素数、 $| a |$ は数 $a$ の絶対値を表す。

$9$ の逆数は $1 / 9$ 。同様に $1 / 9$ の逆数は $9$ 。
$2 / 3$ の逆数は $3 / 2$ 。同様に $3 / 2$ の逆数は $2 / 3$ 。
$0.3$ の逆数は $1 / 0.3 = 10 / 3$ 。同様に $10 / 3$ の逆数は $3 / 10 = 0.3$ 。
$-5$ の逆数は $1 / -5 = - 1 / 5 = -0.2$ 。
$-| a |$ の逆数は $1 / -| a | = - 1 / | a |$ 。
$i$ の逆数は $1 / i$ = $i -1$ = $- i$ 。
$3 + 4 i$ の逆数は $1 / 3 + 4 i = 3 - 4 i / 25$ 。
$x + y i$ の逆数は $1 / x + y i = x - y i / x 2 + y 2$ 。
$r e iθ$ の逆数は $(r e iθ) -1 = 1 / r e - iθ$ 。
複素数 $z$ の逆数は $1 / z = 1 / | z | 2 z$ 。

合同式での逆数

→詳細は「モジュラ逆数」を参照

合同式において逆数を考えることができる。 $a \times b$ を $m$ で割ると $1$ 余るとき、 $b$ を $a$ の $m$ を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。

a\times b\equiv 1{\pmod {m}}.

例えば、 $4 \times 2 \equiv 1 (mod 7)$ となるので、法 $7$ において $2$ は $4$ の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、 $0$ の逆数は存在せず、 $1$ や $-1$ の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、 $m$ の倍数の逆数は存在せず、 $(km \pm 1)$ の逆数はそれ自身になる。

定義上、 $a$ は $m$ と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、 $7 \times b \equiv 1 (mod 42)$ や $12 \times b \equiv 1 (mod 4)$ を満たす $b$ は存在しない。

素数 $p$ を法とする場合、 $0$ 以外の全ての元が逆数を持つ。法 $17$ を例とすると次のようになる。

元	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
逆数	なし	1	9	6	13	7	3	5	15	2	12	14	10	4	11	8	16

合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。 $a$ に逆数 $b$ が存在するならば

a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}

なので、

b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}

（ここで $φ$ はオイラーのφ関数）であり、逆に $a$ と $m$ が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、 $m$ が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。

b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.

また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が $b$ と $n$ について整数解を持つことと同値である。

a\times b+m\times n=1.

この式の解は、 $a$ と $m$ が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。

日本における学校教育

日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、 $x$ （実際には具体的な数を用いる）で割ることと $1 / x$ を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。

例

合同式での逆数

日本における学校教育

関連項目